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Theorem oddvdssubg 15433
Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
torsubg.1  |-  O  =  ( od `  G
)
oddvdssubg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
oddvdssubg  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, N    x, O

Proof of Theorem oddvdssubg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3396 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B
21a1i 11 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B
)
3 ablgrp 15380 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  G  e.  Grp )
5 oddvdssubg.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
75, 6grpidcl 14796 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
9 torsubg.1 . . . . . . 7  |-  O  =  ( od `  G
)
109, 6od1 15158 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  =  1 )
114, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  =  1 )
12 1dvds 12827 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1312adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  ||  N )
1411, 13eqbrtrd 4200 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  ||  N )
15 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( 0g `  G ) ) )
1615breq1d 4190 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  ( 0g `  G
) )  ||  N
) )
1716elrab 3060 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  B  /\  ( O `
 ( 0g `  G ) )  ||  N ) )
188, 14, 17sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
19 ne0i 3602 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/) )
21 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( O `  x )  =  ( O `  y ) )
2221breq1d 4190 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  y )  ||  N
) )
2322elrab 3060 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )
24 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( O `  x )  =  ( O `  z ) )
2524breq1d 4190 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  z )  ||  N
) )
2625elrab 3060 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( z  e.  B  /\  ( O `
 z )  ||  N ) )
274adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  ->  G  e.  Grp )
2827adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  G  e.  Grp )
29 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
y  e.  B )
3029adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  y  e.  B )
31 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  z  e.  B )
32 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
335, 32grpcl 14781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
3428, 30, 31, 33syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  B
)
35 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  G  e.  Abel )
36 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
37 eqid 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
385, 37, 32mulgdi 15412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( N (.g `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) ) )
3935, 36, 30, 31, 38syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) ) )
40 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  y
)  ||  N )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  y )  ||  N
)
425, 9, 37, 6oddvds 15148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  y )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4328, 30, 36, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  y )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) ) )
4441, 43mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) )
45 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  z )  ||  N
)
465, 9, 37, 6oddvds 15148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  z )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) z )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4728, 31, 36, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  z )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) z )  =  ( 0g `  G ) ) )
4845, 47mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) z )  =  ( 0g
`  G ) )
4944, 48oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) ) )
5028, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
515, 32, 6grplid 14798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5228, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  ( 0g `  G ) )
5339, 49, 523eqtrd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( 0g `  G ) )
545, 9, 37, 6oddvds 15148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( O `  (
y ( +g  `  G
) z ) ) 
||  N  <->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
5528, 34, 36, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  ( y
( +g  `  G ) z ) )  ||  N 
<->  ( N (.g `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
5653, 55mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  ||  N )
57 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5857breq1d 4190 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  ||  N ) )
5958elrab 3060 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } 
<->  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  ( O `  (
y ( +g  `  G
) z ) ) 
||  N ) )
6034, 56, 59sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)
6126, 60sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )
6261ralrimiva 2757 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  ->  A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
63 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
645, 63grpinvcl 14813 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
6527, 29, 64syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
669, 63, 5odinv 15160 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( O `  y ) )
6727, 29, 66syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( O `  y ) )
6867, 40eqbrtrd 4200 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  ||  N
)
69 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( O `  x
)  =  ( O `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
7069breq1d 4190 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( O `  x )  ||  N  <->  ( O `  ( ( inv g `  G
) `  y )
)  ||  N )
)
7170elrab 3060 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  B  /\  ( O `  ( ( inv g `  G
) `  y )
)  ||  N )
)
7265, 68, 71sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
7362, 72jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
7423, 73sylan2b 462 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)  ->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
7574ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
765, 32, 63issubg2 14922 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/)  /\  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) ) ) )
774, 76syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/)  /\  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) ) ) )
782, 20, 75, 77mpbir3and 1137 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   {crab 2678    C_ wss 3288   (/)c0 3596   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1c1 8955   ZZcz 10246    || cdivides 12815   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   0gc0g 13686   Grpcgrp 14648   inv gcminusg 14649  .gcmg 14652  SubGrpcsubg 14901   odcod 15126   Abelcabel 15376
This theorem is referenced by:  ablfacrplem  15586  ablfacrp  15587  ablfacrp2  15588  ablfac1b  15591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-od 15130  df-cmn 15377  df-abl 15378
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