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Theorem oddvdssubg 15163
Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
torsubg.1  |-  O  =  ( od `  G
)
oddvdssubg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
oddvdssubg  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, N    x, O

Proof of Theorem oddvdssubg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3271 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B
21a1i 10 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B
)
3 ablgrp 15110 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  G  e.  Grp )
5 oddvdssubg.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
75, 6grpidcl 14526 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
84, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
9 torsubg.1 . . . . . . 7  |-  O  =  ( od `  G
)
109, 6od1 14888 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  =  1 )
114, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  =  1 )
12 1dvds 12559 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1312adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  ||  N )
1411, 13eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  ||  N )
15 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( 0g `  G ) ) )
1615breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  ( 0g `  G
) )  ||  N
) )
1716elrab 2936 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  B  /\  ( O `
 ( 0g `  G ) )  ||  N ) )
188, 14, 17sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
19 ne0i 3474 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/) )
2018, 19syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/) )
21 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( O `  x )  =  ( O `  y ) )
2221breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  y )  ||  N
) )
2322elrab 2936 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )
24 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( O `  x )  =  ( O `  z ) )
2524breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  z )  ||  N
) )
2625elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( z  e.  B  /\  ( O `
 z )  ||  N ) )
274adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  ->  G  e.  Grp )
2827adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  G  e.  Grp )
29 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
y  e.  B )
3029adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  y  e.  B )
31 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  z  e.  B )
32 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
335, 32grpcl 14511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
3428, 30, 31, 33syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  B
)
35 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  G  e.  Abel )
36 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
37 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
385, 37, 32mulgdi 15142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( N (.g `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) ) )
3935, 36, 30, 31, 38syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) ) )
40 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  y
)  ||  N )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  y )  ||  N
)
425, 9, 37, 6oddvds 14878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  y )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4328, 30, 36, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  y )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) ) )
4441, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) )
45 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  z )  ||  N
)
465, 9, 37, 6oddvds 14878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  z )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) z )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4728, 31, 36, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  z )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) z )  =  ( 0g `  G ) ) )
4845, 47mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) z )  =  ( 0g
`  G ) )
4944, 48oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) ) )
5028, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
515, 32, 6grplid 14528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5228, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  ( 0g `  G ) )
5339, 49, 523eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( 0g `  G ) )
545, 9, 37, 6oddvds 14878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( O `  (
y ( +g  `  G
) z ) ) 
||  N  <->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
5528, 34, 36, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  ( y
( +g  `  G ) z ) )  ||  N 
<->  ( N (.g `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
5653, 55mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  ||  N )
57 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5857breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  ||  N ) )
5958elrab 2936 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } 
<->  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  ( O `  (
y ( +g  `  G
) z ) ) 
||  N ) )
6034, 56, 59sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)
6126, 60sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )
6261ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  ->  A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
63 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
645, 63grpinvcl 14543 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
6527, 29, 64syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
669, 63, 5odinv 14890 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( O `  y ) )
6727, 29, 66syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( O `  y ) )
6867, 40eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  ||  N
)
69 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( O `  x
)  =  ( O `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
7069breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( O `  x )  ||  N  <->  ( O `  ( ( inv g `  G
) `  y )
)  ||  N )
)
7170elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  B  /\  ( O `  ( ( inv g `  G
) `  y )
)  ||  N )
)
7265, 68, 71sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
7362, 72jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
7423, 73sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)  ->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
7574ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
765, 32, 63issubg2 14652 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/)  /\  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) ) ) )
774, 76syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/)  /\  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) ) ) )
782, 20, 75, 77mpbir3and 1135 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754   ZZcz 10040    || cdivides 12547   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  .gcmg 14382  SubGrpcsubg 14631   odcod 14856   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  ablfacrplem  15316  ablfacrp  15317  ablfacrp2  15318  ablfac1b  15321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108
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