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Theorem oddvdssubg 15471
Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
torsubg.1  |-  O  =  ( od `  G
)
oddvdssubg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
oddvdssubg  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, N    x, O

Proof of Theorem oddvdssubg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3429 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B
21a1i 11 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B
)
3 ablgrp 15418 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
43adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  G  e.  Grp )
5 oddvdssubg.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
75, 6grpidcl 14834 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
9 torsubg.1 . . . . . . 7  |-  O  =  ( od `  G
)
109, 6od1 15196 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  =  1 )
114, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  =  1 )
12 1dvds 12865 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1312adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  ||  N )
1411, 13eqbrtrd 4233 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  ||  N )
15 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( 0g `  G ) ) )
1615breq1d 4223 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  ( 0g `  G
) )  ||  N
) )
1716elrab 3093 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  B  /\  ( O `
 ( 0g `  G ) )  ||  N ) )
188, 14, 17sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
19 ne0i 3635 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/) )
21 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( O `  x )  =  ( O `  y ) )
2221breq1d 4223 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  y )  ||  N
) )
2322elrab 3093 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )
24 fveq2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( O `  x )  =  ( O `  z ) )
2524breq1d 4223 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  z )  ||  N
) )
2625elrab 3093 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N }  <->  ( z  e.  B  /\  ( O `
 z )  ||  N ) )
274adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  ->  G  e.  Grp )
2827adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  G  e.  Grp )
29 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
y  e.  B )
3029adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  y  e.  B )
31 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  z  e.  B )
32 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
335, 32grpcl 14819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
3428, 30, 31, 33syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  B
)
35 simplll 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  G  e.  Abel )
36 simpllr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
37 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
385, 37, 32mulgdi 15450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( N (.g `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) ) )
3935, 36, 30, 31, 38syl13anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) ) )
40 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  y
)  ||  N )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  y )  ||  N
)
425, 9, 37, 6oddvds 15186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  y )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4328, 30, 36, 42syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  y )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) ) )
4441, 43mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) )
45 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  z )  ||  N
)
465, 9, 37, 6oddvds 15186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  z )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) z )  =  ( 0g
`  G ) ) )
4728, 31, 36, 46syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  z )  ||  N  <->  ( N (.g `  G ) z )  =  ( 0g `  G ) ) )
4845, 47mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) z )  =  ( 0g
`  G ) )
4944, 48oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( N (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( N (.g `  G ) z ) )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) ) )
5028, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
515, 32, 6grplid 14836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
5228, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  ( 0g `  G ) )
5339, 49, 523eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( 0g `  G ) )
545, 9, 37, 6oddvds 15186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( O `  (
y ( +g  `  G
) z ) ) 
||  N  <->  ( N
(.g `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
5528, 34, 36, 54syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( ( O `  ( y
( +g  `  G ) z ) )  ||  N 
<->  ( N (.g `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
5653, 55mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  ||  N )
57 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5857breq1d 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
( O `  x
)  ||  N  <->  ( O `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  ||  N ) )
5958elrab 3093 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } 
<->  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  ( O `  (
y ( +g  `  G
) z ) ) 
||  N ) )
6034, 56, 59sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  ( z  e.  B  /\  ( O `  z
)  ||  N )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)
6126, 60sylan2b 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  /\  z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  N } )
6261ralrimiva 2790 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  ->  A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
63 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
645, 63grpinvcl 14851 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
6527, 29, 64syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
669, 63, 5odinv 15198 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( O `  y ) )
6727, 29, 66syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( O `  y ) )
6867, 40eqbrtrd 4233 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( O `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  ||  N
)
69 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( O `  x
)  =  ( O `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
7069breq1d 4223 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( inv g `  G ) `
 y )  -> 
( ( O `  x )  ||  N  <->  ( O `  ( ( inv g `  G
) `  y )
)  ||  N )
)
7170elrab 3093 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  B  /\  ( O `  ( ( inv g `  G
) `  y )
)  ||  N )
)
7265, 68, 71sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } )
7362, 72jca 520 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  B  /\  ( O `
 y )  ||  N ) )  -> 
( A. z  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
7423, 73sylan2b 463 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }
)  ->  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e. 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
7574ralrimiva 2790 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) )
765, 32, 63issubg2 14960 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/)  /\  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) ) ) )
774, 76syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  =/=  (/)  /\  A. y  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( A. z  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  N }  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N } ) ) ) )
782, 20, 75, 77mpbir3and 1138 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  N }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   A.wral 2706   {crab 2710    C_ wss 3321   (/)c0 3629   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   1c1 8992   ZZcz 10283    || cdivides 12853   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   0gc0g 13724   Grpcgrp 14686   inv gcminusg 14687  .gcmg 14690  SubGrpcsubg 14939   odcod 15164   Abelcabel 15414
This theorem is referenced by:  ablfacrplem  15624  ablfacrp  15625  ablfacrp2  15626  ablfac1b  15629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-dvds 12854  df-gcd 13008  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-od 15168  df-cmn 15415  df-abl 15416
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