MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq1 Unicode version

Theorem odeq1 15123
Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
od1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
od1.2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
odeq1.3  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
odeq1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  <-> 
A  =  .0.  )
)

Proof of Theorem odeq1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6027 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  =  1  ->  (
( O `  A
) (.g `  G ) A )  =  ( 1 (.g `  G ) A ) )
21eqcomd 2392 . . 3  |-  ( ( O `  A )  =  1  ->  (
1 (.g `  G ) A )  =  ( ( O `  A ) (.g `  G ) A ) )
3 odeq1.3 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2387 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
53, 4mulg1 14824 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
1 (.g `  G ) A )  =  A )
6 od1.1 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
7 od1.2 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
83, 6, 4, 7odid 15103 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
) (.g `  G ) A )  =  .0.  )
95, 8eqeq12d 2401 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  (
( 1 (.g `  G
) A )  =  ( ( O `  A ) (.g `  G
) A )  <->  A  =  .0.  ) )
109adantl 453 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( 1 (.g `  G ) A )  =  ( ( O `
 A ) (.g `  G ) A )  <-> 
A  =  .0.  )
)
112, 10syl5ib 211 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  ->  A  =  .0.  ) )
126, 7od1 15122 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( O `  .0.  )  =  1 )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  .0.  )  =  1 )
14 fveq2 5668 . . . 4  |-  ( A  =  .0.  ->  ( O `  A )  =  ( O `  .0.  ) )
1514eqeq1d 2395 . . 3  |-  ( A  =  .0.  ->  (
( O `  A
)  =  1  <->  ( O `  .0.  )  =  1 ) )
1613, 15syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =  .0. 
->  ( O `  A
)  =  1 ) )
1711, 16impbid 184 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  1  <-> 
A  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   1c1 8924   Basecbs 13396   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612  .gcmg 14616   odcod 15090
This theorem is referenced by:  odcau  15165  prmcyg  15430  ablfacrp  15551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-mulg 14742  df-od 15094
  Copyright terms: Public domain W3C validator