MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf Unicode version

Theorem odf 14852
Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
odf  |-  O : X
--> NN0

Proof of Theorem odf
Dummy variables  y  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 9752 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21rabex 4165 . . . 4  |-  { z  e.  NN  |  ( z (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) }  e.  _V
3 c0ex 8832 . . . . 5  |-  0  e.  _V
4 ltso 8903 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
5 cnvso 5214 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
64, 5mpbi 199 . . . . . 6  |-  `'  <  Or  RR
76supex 7214 . . . . 5  |-  sup (
w ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
83, 7ifex 3623 . . . 4  |-  if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
92, 8csbex 3092 . . 3  |-  [_ {
z  e.  NN  | 
( z (.g `  G
) y )  =  ( 0g `  G
) }  /  w ]_ if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
10 odcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
11 eqid 2283 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
12 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
13 odcl.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
1410, 11, 12, 13odfval 14848 . . 3  |-  O  =  ( y  e.  X  |-> 
[_ { z  e.  NN  |  ( z (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) }  /  w ]_ if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) ) )
159, 14fnmpti 5372 . 2  |-  O  Fn  X
1610, 13odcl 14851 . . 3  |-  ( x  e.  X  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
1716rgen 2608 . 2  |-  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  NN0
18 ffnfv 5685 . 2  |-  ( O : X --> NN0  <->  ( O  Fn  X  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  NN0 ) )
1915, 17, 18mpbir2an 886 1  |-  O : X
--> NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   [_csb 3081   (/)c0 3455   ifcif 3565    Or wor 4313   `'ccnv 4688    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737    < clt 8867   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   0gc0g 13400  .gcmg 14366   odcod 14840
This theorem is referenced by:  gexex  15145  torsubg  15146  proot1mul  27515  proot1hash  27519  proot1ex  27520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-od 14844
  Copyright terms: Public domain W3C validator