MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf Unicode version

Theorem odf 15134
Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
odf  |-  O : X
--> NN0

Proof of Theorem odf
Dummy variables  y  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 9966 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21rabex 4318 . . . 4  |-  { z  e.  NN  |  ( z (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) }  e.  _V
3 c0ex 9045 . . . . 5  |-  0  e.  _V
4 ltso 9116 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
5 cnvso 5374 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
64, 5mpbi 200 . . . . . 6  |-  `'  <  Or  RR
76supex 7428 . . . . 5  |-  sup (
w ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
83, 7ifex 3761 . . . 4  |-  if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
92, 8csbex 3226 . . 3  |-  [_ {
z  e.  NN  | 
( z (.g `  G
) y )  =  ( 0g `  G
) }  /  w ]_ if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
10 odcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
11 eqid 2408 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
12 eqid 2408 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
13 odcl.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
1410, 11, 12, 13odfval 15130 . . 3  |-  O  =  ( y  e.  X  |-> 
[_ { z  e.  NN  |  ( z (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) }  /  w ]_ if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) ) )
159, 14fnmpti 5536 . 2  |-  O  Fn  X
1610, 13odcl 15133 . . 3  |-  ( x  e.  X  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
1716rgen 2735 . 2  |-  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  NN0
18 ffnfv 5857 . 2  |-  ( O : X --> NN0  <->  ( O  Fn  X  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  NN0 ) )
1915, 17, 18mpbir2an 887 1  |-  O : X
--> NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   {crab 2674   [_csb 3215   (/)c0 3592   ifcif 3703    Or wor 4466   `'ccnv 4840    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   supcsup 7407   RRcr 8949   0cc0 8950    < clt 9080   NNcn 9960   NN0cn0 10181   Basecbs 13428   0gc0g 13682  .gcmg 14648   odcod 15122
This theorem is referenced by:  gexex  15427  torsubg  15428  proot1mul  27387  proot1hash  27391  proot1ex  27392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-od 15126
  Copyright terms: Public domain W3C validator