MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf Structured version   Unicode version

Theorem odf 15180
Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
odf  |-  O : X
--> NN0

Proof of Theorem odf
Dummy variables  y  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 10011 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21rabex 4357 . . . 4  |-  { z  e.  NN  |  ( z (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) }  e.  _V
3 c0ex 9090 . . . . 5  |-  0  e.  _V
4 ltso 9161 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
5 cnvso 5414 . . . . . . 7  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
64, 5mpbi 201 . . . . . 6  |-  `'  <  Or  RR
76supex 7471 . . . . 5  |-  sup (
w ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
83, 7ifex 3799 . . . 4  |-  if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
92, 8csbex 3264 . . 3  |-  [_ {
z  e.  NN  | 
( z (.g `  G
) y )  =  ( 0g `  G
) }  /  w ]_ if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
10 odcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
11 eqid 2438 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
12 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
13 odcl.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
1410, 11, 12, 13odfval 15176 . . 3  |-  O  =  ( y  e.  X  |-> 
[_ { z  e.  NN  |  ( z (.g `  G ) y )  =  ( 0g
`  G ) }  /  w ]_ if ( w  =  (/) ,  0 ,  sup ( w ,  RR ,  `'  <  ) ) )
159, 14fnmpti 5576 . 2  |-  O  Fn  X
1610, 13odcl 15179 . . 3  |-  ( x  e.  X  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
1716rgen 2773 . 2  |-  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  NN0
18 ffnfv 5897 . 2  |-  ( O : X --> NN0  <->  ( O  Fn  X  /\  A. x  e.  X  ( O `  x )  e.  NN0 ) )
1915, 17, 18mpbir2an 888 1  |-  O : X
--> NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   [_csb 3253   (/)c0 3630   ifcif 3741    Or wor 4505   `'ccnv 4880    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   supcsup 7448   RRcr 8994   0cc0 8995    < clt 9125   NNcn 10005   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   0gc0g 13728  .gcmg 14694   odcod 15168
This theorem is referenced by:  gexex  15473  torsubg  15474  proot1mul  27506  proot1hash  27510  proot1ex  27511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-od 15172
  Copyright terms: Public domain W3C validator