Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1 Structured version   Unicode version

Theorem odf1 15190
 Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1
odf1.2
odf1.3 .g
odf1.4
Assertion
Ref Expression
odf1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem odf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odf1.1 . . . . . . . 8
2 odf1.3 . . . . . . . 8 .g
31, 2mulgcl 14899 . . . . . . 7
433expa 1153 . . . . . 6
54an32s 780 . . . . 5
6 odf1.4 . . . . 5
75, 6fmptd 5885 . . . 4
9 oveq1 6080 . . . . . . . . 9
10 ovex 6098 . . . . . . . . 9
119, 6, 10fvmpt3i 5801 . . . . . . . 8
12 oveq1 6080 . . . . . . . . 9
1312, 6, 10fvmpt3i 5801 . . . . . . . 8
1411, 13eqeqan12d 2450 . . . . . . 7
1514adantl 453 . . . . . 6
16 simplr 732 . . . . . . . 8
1716breq1d 4214 . . . . . . 7
18 odf1.2 . . . . . . . . . 10
19 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
201, 18, 2, 19odcong 15179 . . . . . . . . 9
21203expa 1153 . . . . . . . 8
2221adantlr 696 . . . . . . 7
23 zsubcl 10311 . . . . . . . . 9
2423adantl 453 . . . . . . . 8
25 0dvds 12862 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7
2717, 22, 263bitr3d 275 . . . . . 6
28 zcn 10279 . . . . . . . 8
29 zcn 10279 . . . . . . . 8
30 subeq0 9319 . . . . . . . 8
3128, 29, 30syl2an 464 . . . . . . 7
3231adantl 453 . . . . . 6
3315, 27, 323bitrd 271 . . . . 5
3433biimpd 199 . . . 4
3534ralrimivva 2790 . . 3
36 dff13 5996 . . 3
378, 35, 36sylanbrc 646 . 2
381, 18, 2, 19odid 15168 . . . . . 6
391, 19, 2mulg0 14887 . . . . . 6
4038, 39eqtr4d 2470 . . . . 5
4140ad2antlr 708 . . . 4
421, 18odcl 15166 . . . . . . 7
4342ad2antlr 708 . . . . . 6
4443nn0zd 10365 . . . . 5
45 oveq1 6080 . . . . . 6
4645, 6, 10fvmpt3i 5801 . . . . 5
4744, 46syl 16 . . . 4
48 0z 10285 . . . . . 6
4948a1i 11 . . . . 5
50 oveq1 6080 . . . . . 6
5150, 6, 10fvmpt3i 5801 . . . . 5
5249, 51syl 16 . . . 4
5341, 47, 523eqtr4d 2477 . . 3
54 simpr 448 . . . 4
55 f1fveq 6000 . . . 4
5654, 44, 49, 55syl12anc 1182 . . 3
5753, 56mpbid 202 . 2
5837, 57impbida 806 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   class class class wbr 4204   cmpt 4258  wf 5442  wf1 5443  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982   cmin 9283  cn0 10213  cz 10274   cdivides 12844  cbs 13461  c0g 13715  cgrp 14677  .gcmg 14681  cod 15155 This theorem is referenced by:  odinf  15191  odcl2  15193  zrhchr  24352 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-od 15159
 Copyright terms: Public domain W3C validator