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Theorem odf1o2 15212
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1o1.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1o1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1o1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odf1o2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, K    x, O    x,  .x.    x, X

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  G  e.  Grp )
2 elfzoelz 11145 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
32adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
4 simpl2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  A  e.  X )
5 odf1o1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
75, 6mulgcl 14912 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
81, 3, 4, 7syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( x  .x.  A
)  e.  X )
98ex 425 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  -> 
( x  .x.  A
)  e.  X ) )
10 simpl3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
1110nncnd 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
1211subid1d 9405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( O `
 A )  - 
0 )  =  ( O `  A ) )
1312breq1d 4225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( ( O `  A )  -  0 )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( O `  A )  ||  (
x  -  y ) ) )
14 fzocongeq 12908 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )  ->  ( (
( O `  A
)  -  0 ) 
||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
1514adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( ( O `  A )  -  0 )  ||  ( x  -  y
)  <->  x  =  y
) )
16 simpl1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  G  e.  Grp )
17 simpl2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  A  e.  X
)
182ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
19 elfzoelz 11145 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  ->  y  e.  ZZ )
2019ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
22 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
235, 21, 6, 22odcong 15192 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( x  -  y
)  <->  ( x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) ) )
2513, 15, 243bitr3rd 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) ) )  ->  ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  x  =  y
) )
2625ex 425 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) ) )  ->  ( ( x 
.x.  A )  =  ( y  .x.  A
)  <->  x  =  y
) ) )
279, 26dom2lem 7150 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-> X )
28 f1fn 5643 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )
2927, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
30 resss 5173 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  C_  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
312ssriv 3354 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( O `  A
) )  C_  ZZ
32 resmpt 5194 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ ( O `  A ) )  C_  ZZ  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x 
.x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )  |`  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )
34 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
3534cbvmptv 4303 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )
3630, 33, 353sstr3i 3388 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) )
37 rnss 5101 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) 
C_  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) ) )
3836, 37mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  C_  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) ) )
39 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
40 simpl3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  NN )
41 zmodfzo 11274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
4239, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )
435, 21, 6, 22odmod 15189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( O `  A
)  e.  NN )  ->  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( y  .x.  A ) )
44433an1rs 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  mod  ( O `  A
) )  .x.  A
)  =  ( y 
.x.  A ) )
4544eqcomd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  .x.  A
)  =  ( ( y  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )
46 oveq1 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  mod  ( O `  A
) )  ->  (
x  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
4746eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  mod  ( O `  A
) )  ->  (
( y  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  A )  <->  ( y  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
4847rspcev 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  mod  ( O `  A )
)  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  /\  (
y  .x.  A )  =  ( ( y  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  E. x  e.  (
0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) )
4942, 45, 48syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) )
50 ovex 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
.x.  A )  e. 
_V
51 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )
5251elrnmpt 5120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  .x.  A )  e.  _V  ->  (
( y  .x.  A
)  e.  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  <->  E. x  e.  (
0..^ ( O `  A ) ) ( y  .x.  A )  =  ( x  .x.  A ) ) )
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  .x.  A )  e.  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  <->  E. x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) ( y  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  A ) )
5449, 53sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  .x.  A
)  e.  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) )
55 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  |->  ( y 
.x.  A ) )  =  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )
5654, 55fmptd 5896 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) : ZZ --> ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
57 frn 5600 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) ) : ZZ --> ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  ->  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) )  C_  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) )  C_  ran  ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
5938, 58eqssd 3367 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ran  (
y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A ) ) )
60 odf1o1.k . . . . . 6  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
615, 6, 55, 60cycsubg2 14982 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) )
62613adant3 978 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( K `  { A } )  =  ran  ( y  e.  ZZ  |->  ( y  .x.  A
) ) )
6359, 62eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  ran  ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) )  =  ( K `
 { A }
) )
64 df-fo 5463 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -onto-> ( K `  { A } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  Fn  ( 0..^ ( O `  A ) )  /\  ran  (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) )  =  ( K `  { A } ) ) )
6529, 63, 64sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -onto-> ( K `
 { A }
) )
66 df-f1 5462 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  <->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `
 A ) ) --> X  /\  Fun  `' ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) ) )
6766simprbi 452 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-> X  ->  Fun  `' ( x  e.  (
0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) )
6827, 67syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  Fun  `' ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( x  .x.  A
) ) )
69 dff1o3 5683 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x 
.x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -onto-> ( K `  { A } )  /\  Fun  `' ( x  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( x  .x.  A
) ) ) )
7065, 68, 69sylanbrc 647 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x  .x.  A ) ) : ( 0..^ ( O `  A
) ) -1-1-onto-> ( K `  { A } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   ran crn 4882    |` cres 4883   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -onto->wfo 5455   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995    - cmin 9296   NNcn 10005   ZZcz 10287  ..^cfzo 11140    mod cmo 11255    || cdivides 12857   Basecbs 13474   0gc0g 13728  mrClscmrc 13813   Grpcgrp 14690  .gcmg 14694  SubGrpcsubg 14943   odcod 15168
This theorem is referenced by:  odhash2  15214  odngen  15216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-od 15172
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