MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash Unicode version

Theorem odhash 15135
Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odhash.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odhash.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odhash  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  +oo )

Proof of Theorem odhash
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10223 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
2 ominf 7257 . . . 4  |-  -.  om  e.  Fin
3 znnen 12739 . . . . . 6  |-  ZZ  ~~  NN
4 nnenom 11246 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
53, 4entri 7097 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  om
6 enfi 7261 . . . . 5  |-  ( ZZ 
~~  om  ->  ( ZZ  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  Fin  <->  om  e.  Fin )
82, 7mtbir 291 . . 3  |-  -.  ZZ  e.  Fin
9 hashinf 11550 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  -.  ZZ  e.  Fin )  ->  ( # `  ZZ )  =  +oo )
101, 8, 9mp2an 654 . 2  |-  ( # `  ZZ )  =  +oo
11 odhash.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
12 eqid 2387 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
13 odhash.o . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
14 odhash.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1511, 12, 13, 14odf1o1 15133 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) : ZZ -1-1-onto-> ( K `  { A } ) )
161f1oen 7064 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ZZ -1-1-onto-> ( K `  { A } )  ->  ZZ  ~~  ( K `  { A } ) )
17 hasheni 11559 . . 3  |-  ( ZZ 
~~  ( K `  { A } )  -> 
( # `  ZZ )  =  ( # `  ( K `  { A } ) ) )
1815, 16, 173syl 19 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ZZ )  =  ( # `  ( K `  { A } ) ) )
1910, 18syl5reqr 2434 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   omcom 4785   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ~~ cen 7042   Fincfn 7045   0cc0 8923    +oocpnf 9050   NNcn 9932   ZZcz 10214   #chash 11545   Basecbs 13396  mrClscmrc 13735   Grpcgrp 14612  .gcmg 14616  SubGrpcsubg 14865   odcod 15090
This theorem is referenced by:  odhash3  15137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-dvds 12780  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-od 15094
  Copyright terms: Public domain W3C validator