MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash2 Structured version   Unicode version

Theorem odhash2 15210
Description: If an element has nonzero order, it generates a subgroup with size equal to the order. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odhash.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odhash.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odhash2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  ( O `  A ) )

Proof of Theorem odhash2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odhash.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2437 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 odhash.o . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
4 odhash.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
51, 2, 3, 4odf1o2 15208 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `
 { A }
) )
6 ovex 6107 . . . 4  |-  ( 0..^ ( O `  A
) )  e.  _V
76f1oen 7129 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `
 { A }
)  ->  ( 0..^ ( O `  A
) )  ~~  ( K `  { A } ) )
8 hasheni 11633 . . 3  |-  ( ( 0..^ ( O `  A ) )  ~~  ( K `  { A } )  ->  ( # `
 ( 0..^ ( O `  A ) ) )  =  (
# `  ( K `  { A } ) ) )
95, 7, 83syl 19 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  =  ( # `  ( K `  { A } ) ) )
101, 3odcl 15175 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
11103ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  NN0 )
12 hashfzo0 11696 . . 3  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ ( O `
 A ) ) )  =  ( O `
 A ) )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  =  ( O `  A
) )
149, 13eqtr3d 2471 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  ( O `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ~~ cen 7107   0cc0 8991   NNcn 10001   NN0cn0 10222  ..^cfzo 11136   #chash 11619   Basecbs 13470  mrClscmrc 13809   Grpcgrp 14686  .gcmg 14690  SubGrpcsubg 14939   odcod 15164
This theorem is referenced by:  odhash3  15211  proot1mul  27493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-dvds 12854  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-od 15168
  Copyright terms: Public domain W3C validator