MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash3 Unicode version

Theorem odhash3 15173
Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odhash.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odhash.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odhash3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =  (
# `  ( K `  { A } ) ) )

Proof of Theorem odhash3
StepHypRef Expression
1 odhash.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odhash.o . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 15137 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
433ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
5 hashcl 11602 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  { A } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  e. 
NN0 )
65nn0red 10239 . . . . . 6  |-  ( ( K `  { A } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR )
7 pnfnre 9091 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e/  RR
8 df-nel 2578 . . . . . . . . . 10  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
97, 8mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  -.  +oo  e.  RR
10 odhash.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
111, 2, 10odhash 15171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  +oo )
1211eleq1d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR  <->  +oo  e.  RR ) )
139, 12mtbiri 295 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR )
14133expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  ->  -.  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR ) )
1514necon2ad 2623 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR  ->  ( O `  A )  =/=  0
) )
166, 15syl5 30 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( K `  { A } )  e. 
Fin  ->  ( O `  A )  =/=  0
) )
17163impia 1150 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =/=  0
)
18 elnnne0 10199 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  <->  ( ( O `  A )  e.  NN0  /\  ( O `
 A )  =/=  0 ) )
194, 17, 18sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
201, 2, 10odhash2 15172 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  ( O `  A ) )
2119, 20syld3an3 1229 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  =  ( O `  A
) )
2221eqcomd 2417 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =  (
# `  ( K `  { A } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575    e/ wnel 2576   {csn 3782   ` cfv 5421   Fincfn 7076   RRcr 8953   0cc0 8954    +oocpnf 9081   NNcn 9964   NN0cn0 10185   #chash 11581   Basecbs 13432  mrClscmrc 13771   Grpcgrp 14648  SubGrpcsubg 14901   odcod 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-od 15130
  Copyright terms: Public domain W3C validator