MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash3 Structured version   Unicode version

Theorem odhash3 15215
Description: An element which generates a finite subgroup has order the size of that subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odhash.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odhash.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odhash3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =  (
# `  ( K `  { A } ) ) )

Proof of Theorem odhash3
StepHypRef Expression
1 odhash.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odhash.o . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 15179 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
433ad2ant2 980 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
5 hashcl 11644 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  { A } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  e. 
NN0 )
65nn0red 10280 . . . . . 6  |-  ( ( K `  { A } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR )
7 pnfnre 9132 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e/  RR
87neli 2699 . . . . . . . . 9  |-  -.  +oo  e.  RR
9 odhash.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
101, 2, 9odhash 15213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  +oo )
1110eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  -> 
( ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR  <->  +oo  e.  RR ) )
128, 11mtbiri 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR )
13123expia 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  ->  -.  ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR ) )
1413necon2ad 2654 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( # `  ( K `  { A } ) )  e.  RR  ->  ( O `  A )  =/=  0
) )
156, 14syl5 31 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( K `  { A } )  e. 
Fin  ->  ( O `  A )  =/=  0
) )
16153impia 1151 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =/=  0
)
17 elnnne0 10240 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  <->  ( ( O `  A )  e.  NN0  /\  ( O `
 A )  =/=  0 ) )
184, 16, 17sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
191, 2, 9odhash2 15214 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( K `
 { A }
) )  =  ( O `  A ) )
2018, 19syld3an3 1230 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( # `  ( K `  { A } ) )  =  ( O `  A
) )
2120eqcomd 2443 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K `  { A } )  e.  Fin )  ->  ( O `  A )  =  (
# `  ( K `  { A } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {csn 3816   ` cfv 5457   Fincfn 7112   RRcr 8994   0cc0 8995    +oocpnf 9122   NNcn 10005   NN0cn0 10226   #chash 11623   Basecbs 13474  mrClscmrc 13813   Grpcgrp 14690  SubGrpcsubg 14943   odcod 15168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-od 15172
  Copyright terms: Public domain W3C validator