MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinf Unicode version

Theorem odinf 14892
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of  G. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odf1.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odf1.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odf1.4  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
odinf  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, O    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem odinf
StepHypRef Expression
1 znnen 12507 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
2 nnenom 11058 . . . . 5  |-  NN  ~~  om
31, 2entr2i 6932 . . . 4  |-  om  ~~  ZZ
4 odf1.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odf1.2 . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
6 odf1.3 . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 odf1.4 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
84, 5, 6, 7odf1 14891 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  =  0  <-> 
F : ZZ -1-1-> X
) )
98biimp3a 1281 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F : ZZ -1-1-> X )
10 f1f 5453 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ -1-1-> X  ->  F : ZZ --> X )
11 zex 10049 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
12 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
134, 12eqeltri 2366 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
14 fex2 5417 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ZZ --> X  /\  ZZ  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1511, 13, 14mp3an23 1269 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ --> X  ->  F  e.  _V )
169, 10, 153syl 18 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F  e.  _V )
17 f1f1orn 5499 . . . . . 6  |-  ( F : ZZ -1-1-> X  ->  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )
189, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )
19 f1oen3g 6893 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : ZZ -1-1-onto-> ran  F )  ->  ZZ  ~~  ran  F )
2016, 18, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  ZZ  ~~  ran  F )
21 entr 6929 . . . 4  |-  ( ( om  ~~  ZZ  /\  ZZ  ~~  ran  F )  ->  om  ~~  ran  F
)
223, 20, 21sylancr 644 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  om  ~~  ran  F )
23 endom 6904 . . 3  |-  ( om 
~~  ran  F  ->  om  ~<_  ran  F )
24 domnsym 7003 . . 3  |-  ( om  ~<_  ran  F  ->  -.  ran  F  ~<  om )
2522, 23, 243syl 18 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  ~<  om )
26 isfinite 7369 . 2  |-  ( ran 
F  e.  Fin  <->  ran  F  ~<  om )
2725, 26sylnibr 296 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  =  0 )  ->  -.  ran  F  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672   ran crn 4706   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   Fincfn 6879   0cc0 8753   NNcn 9762   ZZcz 10040   Basecbs 13164   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382   odcod 14856
This theorem is referenced by:  dfod2  14893  odcl2  14894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-od 14860
  Copyright terms: Public domain W3C validator