MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinv Unicode version

Theorem odinv 15117
Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odinv.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odinv.2  |-  I  =  ( inv g `  G )
odinv.3  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
odinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  =  ( O `
 A ) )

Proof of Theorem odinv
StepHypRef Expression
1 1z 10236 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 znegcl 10238 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  -u 1  e.  ZZ
4 odinv.3 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odinv.1 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
6 eqid 2380 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
74, 5, 6odmulg 15112 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  =  ( ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  x.  ( O `  ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) ) )
83, 7mp3an3 1268 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  ( (
-u 1  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) ) )
94, 5odcl 15094 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
109adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
1110nn0zd 10298 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
12 gcdcom 12940 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  -u 1 ) )
133, 11, 12sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  -u 1 ) )
14 gcdneg 12946 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  A )  gcd  -u 1
)  =  ( ( O `  A )  gcd  1 ) )
1511, 1, 14sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  gcd  -u 1
)  =  ( ( O `  A )  gcd  1 ) )
16 gcd1 12952 . . . . 5  |-  ( ( O `  A )  e.  ZZ  ->  (
( O `  A
)  gcd  1 )  =  1 )
1711, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  gcd  1
)  =  1 )
1813, 15, 173eqtrd 2416 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  1 )
19 odinv.2 . . . . 5  |-  I  =  ( inv g `  G )
204, 6, 19mulgm1 14829 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 (.g `  G ) A )  =  ( I `  A ) )
2120fveq2d 5665 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  ( -u 1 (.g `  G ) A ) )  =  ( O `  ( I `
 A ) ) )
2218, 21oveq12d 6031 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  x.  ( O `  ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) )  =  ( 1  x.  ( O `  ( I `  A ) ) ) )
234, 19grpinvcl 14770 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( I `  A
)  e.  X )
244, 5odcl 15094 . . . . 5  |-  ( ( I `  A )  e.  X  ->  ( O `  ( I `  A ) )  e. 
NN0 )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  e.  NN0 )
2625nn0cnd 10201 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  e.  CC )
2726mulid2d 9032 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( 1  x.  ( O `  ( I `  A ) ) )  =  ( O `  ( I `  A
) ) )
288, 22, 273eqtrrd 2417 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  =  ( O `
 A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1c1 8917    x. cmul 8921   -ucneg 9217   NN0cn0 10146   ZZcz 10207    gcd cgcd 12926   Basecbs 13389   Grpcgrp 14605   inv gcminusg 14606  .gcmg 14609   odcod 15083
This theorem is referenced by:  torsubg  15389  oddvdssubg  15390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-dvds 12773  df-gcd 12927  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-od 15087
  Copyright terms: Public domain W3C validator