MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinv Structured version   Unicode version

Theorem odinv 15189
Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odinv.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odinv.2  |-  I  =  ( inv g `  G )
odinv.3  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
odinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  =  ( O `
 A ) )

Proof of Theorem odinv
StepHypRef Expression
1 1z 10303 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 znegcl 10305 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  -u 1  e.  ZZ
4 odinv.3 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odinv.1 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
6 eqid 2435 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
74, 5, 6odmulg 15184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  =  ( ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  x.  ( O `  ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) ) )
83, 7mp3an3 1268 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  ( (
-u 1  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) ) )
94, 5odcl 15166 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
109adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
1110nn0zd 10365 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
12 gcdcom 13012 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  -u 1 ) )
133, 11, 12sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  -u 1 ) )
14 gcdneg 13018 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  A )  gcd  -u 1
)  =  ( ( O `  A )  gcd  1 ) )
1511, 1, 14sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  gcd  -u 1
)  =  ( ( O `  A )  gcd  1 ) )
16 gcd1 13024 . . . . 5  |-  ( ( O `  A )  e.  ZZ  ->  (
( O `  A
)  gcd  1 )  =  1 )
1711, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( O `  A )  gcd  1
)  =  1 )
1813, 15, 173eqtrd 2471 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  =  1 )
19 odinv.2 . . . . 5  |-  I  =  ( inv g `  G )
204, 6, 19mulgm1 14901 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 (.g `  G ) A )  =  ( I `  A ) )
2120fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  ( -u 1 (.g `  G ) A ) )  =  ( O `  ( I `
 A ) ) )
2218, 21oveq12d 6091 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( -u 1  gcd  ( O `  A
) )  x.  ( O `  ( -u 1
(.g `  G ) A ) ) )  =  ( 1  x.  ( O `  ( I `  A ) ) ) )
234, 19grpinvcl 14842 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( I `  A
)  e.  X )
244, 5odcl 15166 . . . . 5  |-  ( ( I `  A )  e.  X  ->  ( O `  ( I `  A ) )  e. 
NN0 )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  e.  NN0 )
2625nn0cnd 10268 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  e.  CC )
2726mulid2d 9098 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( 1  x.  ( O `  ( I `  A ) ) )  =  ( O `  ( I `  A
) ) )
288, 22, 273eqtrrd 2472 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  (
I `  A )
)  =  ( O `
 A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1c1 8983    x. cmul 8987   -ucneg 9284   NN0cn0 10213   ZZcz 10274    gcd cgcd 12998   Basecbs 13461   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678  .gcmg 14681   odcod 15155
This theorem is referenced by:  torsubg  15461  oddvdssubg  15462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-od 15159
  Copyright terms: Public domain W3C validator