Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odlem2 Structured version   Unicode version

Theorem odlem2 15178
 Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1
odcl.2
odid.3 .g
odid.4
Assertion
Ref Expression
odlem2

Proof of Theorem odlem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6089 . . . . 5
21eqeq1d 2445 . . . 4
32elrab 3093 . . 3
4 odcl.1 . . . . . 6
5 odid.3 . . . . . 6 .g
6 odid.4 . . . . . 6
7 odcl.2 . . . . . 6
8 eqid 2437 . . . . . 6
94, 5, 6, 7, 8odval 15173 . . . . 5
10 n0i 3634 . . . . . 6
11 iffalse 3747 . . . . . 6
1210, 11syl 16 . . . . 5
139, 12sylan9eq 2489 . . . 4
14 ssrab2 3429 . . . . . 6
15 nnuz 10522 . . . . . . . 8
1614, 15sseqtri 3381 . . . . . . 7
17 ne0i 3635 . . . . . . . 8
1817adantl 454 . . . . . . 7
19 infmssuzcl 10560 . . . . . . 7
2016, 18, 19sylancr 646 . . . . . 6
2114, 20sseldi 3347 . . . . 5
22 infmssuzle 10559 . . . . . . 7
2316, 22mpan 653 . . . . . 6
2423adantl 454 . . . . 5
25 elrabi 3091 . . . . . . . 8
2625nnzd 10375 . . . . . . 7
27 fznn 11116 . . . . . . 7
2826, 27syl 16 . . . . . 6
2928adantl 454 . . . . 5
3021, 24, 29mpbir2and 890 . . . 4
3113, 30eqeltrd 2511 . . 3
323, 31sylan2br 464 . 2
33323impb 1150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  crab 2710   wss 3321  c0 3629  cif 3740   class class class wbr 4213  ccnv 4878  cfv 5455  (class class class)co 6082  csup 7446  cr 8990  cc0 8991  c1 8992   clt 9121   cle 9122  cn 10001  cz 10283  cuz 10489  cfz 11044  cbs 13470  c0g 13724  .gcmg 14690  cod 15164 This theorem is referenced by:  mndodconglem  15180  oddvdsnn0  15183  odnncl  15184  oddvds  15186  od1  15196 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-od 15168
 Copyright terms: Public domain W3C validator