MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odlem2 Structured version   Unicode version

Theorem odlem2 15178
Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odlem2  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A )  =  .0.  )  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem odlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6089 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
y  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
21eqeq1d 2445 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  (
( y  .x.  A
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  A )  =  .0.  ) )
32elrab 3093 . . 3  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( N 
.x.  A )  =  .0.  ) )
4 odcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
6 odid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
7 odcl.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
8 eqid 2437 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
94, 5, 6, 7, 8odval 15173 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) ) )
10 n0i 3634 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  -.  { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }  =  (/) )
11 iffalse 3747 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/)  ->  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
139, 12sylan9eq 2489 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( O `  A
)  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
14 ssrab2 3429 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  C_  NN
15 nnuz 10522 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15sseqtri 3381 . . . . . . 7  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )
17 ne0i 3635 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =/=  (/) )
1817adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =/=  (/) )
19 infmssuzcl 10560 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }  =/=  (/) )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }
)
2016, 18, 19sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} )
2114, 20sseldi 3347 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
22 infmssuzle 10559 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2316, 22mpan 653 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2423adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
25 elrabi 3091 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  N  e.  NN )
2625nnzd 10375 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  N  e.  ZZ )
27 fznn 11116 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2928adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
3021, 24, 29mpbir2and 890 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
) )
3113, 30eqeltrd 2511 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( O `  A
)  e.  ( 1 ... N ) )
323, 31sylan2br 464 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A
)  =  .0.  )
)  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N ) )
33323impb 1150 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A )  =  .0.  )  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   {crab 2710    C_ wss 3321   (/)c0 3629   ifcif 3740   class class class wbr 4213   `'ccnv 4878   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   supcsup 7446   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    < clt 9121    <_ cle 9122   NNcn 10001   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044   Basecbs 13470   0gc0g 13724  .gcmg 14690   odcod 15164
This theorem is referenced by:  mndodconglem  15180  oddvdsnn0  15183  odnncl  15184  oddvds  15186  od1  15196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-od 15168
  Copyright terms: Public domain W3C validator