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Theorem odlem2 14854
Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odlem2  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A )  =  .0.  )  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem odlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
y  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
21eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  (
( y  .x.  A
)  =  .0.  <->  ( N  .x.  A )  =  .0.  ) )
32elrab 2923 . . 3  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( N 
.x.  A )  =  .0.  ) )
4 odcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 odid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
6 odid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
7 odcl.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
94, 5, 6, 7, 8odval 14849 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  =  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =  (/)
,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) ) )
10 n0i 3460 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  -.  { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }  =  (/) )
11 iffalse 3572 . . . . . 6  |-  ( -. 
{ y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/)  ->  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  if ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =  (/) ,  0 ,  sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
139, 12sylan9eq 2335 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( O `  A
)  =  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  ) )
14 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  C_  NN
15 nnuz 10263 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15sseqtri 3210 . . . . . . 7  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  C_  ( ZZ>= `  1 )
17 ne0i 3461 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  =/=  (/) )
1817adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  =/=  (/) )
19 infmssuzcl 10301 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }  =/=  (/) )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  }
)
2016, 18, 19sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} )
2114, 20sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
22 infmssuzle 10300 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2316, 22mpan 651 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
2423adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
2514sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  N  e.  NN )
2625nnzd 10116 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  N  e.  ZZ )
27 fznn 10852 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2826, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  }  ->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
2928adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( sup ( { y  e.  NN  | 
( y  .x.  A
)  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\ 
sup ( { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N ) ) )
3021, 24, 29mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  ->  sup ( { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1 ... N
) )
3113, 30eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  A )  =  .0.  } )  -> 
( O `  A
)  e.  ( 1 ... N ) )
323, 31sylan2br 462 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A
)  =  .0.  )
)  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N ) )
33323impb 1147 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  N  e.  NN  /\  ( N  .x.  A )  =  .0.  )  ->  ( O `  A )  e.  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   Basecbs 13148   0gc0g 13400  .gcmg 14366   odcod 14840
This theorem is referenced by:  mndodconglem  14856  oddvdsnn0  14859  odnncl  14860  oddvds  14862  od1  14872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-od 14844
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