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Theorem odmodnn0 14871
Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odmodnn0  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )

Proof of Theorem odmodnn0
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  G  e.  Mnd )
2 nnnn0 9988 . . . . . 6  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  NN0 )
4 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
54nn0red 10035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
6 nnrp 10379 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
76adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  RR+ )
85, 7rerpdivcld 10433 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( N  /  ( O `  A )
)  e.  RR )
94nn0ge0d 10037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
0  <_  N )
10 nnre 9769 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( O `  A )  e.  RR )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  RR )
12 nngt0 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  0  <  ( O `  A
) )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
0  <  ( O `  A ) )
14 divge0 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  ( ( O `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( O `
 A ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( O `
 A ) ) )
155, 9, 11, 13, 14syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
0  <_  ( N  /  ( O `  A ) ) )
16 flge0nn0 10964 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  /  ( O `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N  / 
( O `  A
) ) )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  e.  NN0 )
178, 15, 16syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  e.  NN0 )
183, 17nn0mulcld 10039 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) )  e.  NN0 )
194nn0zd 10131 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
20 zmodcl 11005 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
2119, 20sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
22 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  X )
23 odcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
24 odid.3 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
25 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2623, 24, 25mulgnn0dir 14606 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  e.  NN0  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  e.  NN0  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A )
) )  .x.  A
)  =  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) ) 
.x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) ) )
271, 18, 21, 22, 26syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A )
) )  .x.  A
)  =  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) ) 
.x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) ) )
2811recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( O `  A
)  e.  CC )
2917nn0cnd 10036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  e.  CC )
3028, 29mulcomd 8872 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) )  =  ( ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) )  x.  ( O `  A
) ) )
3130oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  .x.  A )  =  ( ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3223, 24mulgnn0ass 14612 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  e.  NN0  /\  ( O `  A
)  e.  NN0  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  x.  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) 
.x.  ( ( O `
 A )  .x.  A ) ) )
331, 17, 3, 22, 32syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) )  x.  ( O `  A
) )  .x.  A
)  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) 
.x.  ( ( O `
 A )  .x.  A ) ) )
34 odcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  O  =  ( od `  G
)
35 odid.4 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3623, 34, 24, 35odid 14869 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
)  .x.  A )  =  .0.  )
3722, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( O `  A )  .x.  A
)  =  .0.  )
3837oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  .x.  (
( O `  A
)  .x.  A )
)  =  ( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) 
.x.  .0.  ) )
3923, 24, 35mulgnn0z 14603 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
401, 17, 39syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
4138, 40eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) )  .x.  (
( O `  A
)  .x.  A )
)  =  .0.  )
4233, 41eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) )  x.  ( O `  A
) )  .x.  A
)  =  .0.  )
4331, 42eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  .x.  A )  =  .0.  )
4443oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )  =  (  .0.  ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
4527, 44eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A )
) )  .x.  A
)  =  (  .0.  ( +g  `  G
) ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) ) )
46 modval 10991 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  -  (
( O `  A
)  x.  ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) ) ) ) )
475, 7, 46syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  -  ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) ) ) )
4847oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  =  ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  -  (
( O `  A
)  x.  ( |_
`  ( N  / 
( O `  A
) ) ) ) ) ) )
4918nn0cnd 10036 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  / 
( O `  A
) ) ) )  e.  CC )
504nn0cnd 10036 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5149, 50pncan3d 9176 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  +  ( N  -  ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) ) ) )  =  N )
5248, 51eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A ) ) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  =  N )
5352oveq1d 5889 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( |_ `  ( N  /  ( O `  A )
) ) )  +  ( N  mod  ( O `  A )
) )  .x.  A
)  =  ( N 
.x.  A ) )
5423, 24mulgnn0cl 14599 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  e.  NN0  /\  A  e.  X )  ->  (
( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  e.  X )
551, 21, 22, 54syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  e.  X )
5623, 25, 35mndlid 14409 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  e.  X )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
571, 55, 56syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) ( ( N  mod  ( O `
 A ) ) 
.x.  A ) )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
5845, 53, 573eqtr3rd 2337 1  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   |_cfl 10940    mod cmo 10989   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377  .gcmg 14382   odcod 14856
This theorem is referenced by:  mndodcong  14873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mulg 14508  df-od 14860
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