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Theorem odmulg 15182
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odmulg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  =  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )

Proof of Theorem odmulg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odmulgid.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odmulgid.3 . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2mulgcl 14897 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
433com23 1159 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A
)  e.  X )
5 odmulgid.2 . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
61, 5odcl 15164 . . . . . . 7  |-  ( ( N  .x.  A )  e.  X  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e. 
NN0 )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  NN0 )
87nn0cnd 10266 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  CC )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  CC )
109mul02d 9254 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( 0  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  =  0 )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0 )
1211oveq1d 6088 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  =  ( 0  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )
13 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
141, 5odcl 15164 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
15143ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
1615nn0zd 10363 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  e.  ZZ )
17 gcdeq0 13011 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0  <->  ( N  =  0  /\  ( O `  A )  =  0 ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  0  <->  ( N  =  0  /\  ( O `  A )  =  0 ) ) )
1918simplbda 608 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  0 )
2010, 12, 193eqtr4rd 2478 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  0 )  ->  ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) )
21 simpll3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
2216ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
23 gcddvds 13005 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  N  /\  ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  ( O `  A ) ) )
2421, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  N  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A ) ) )
2524simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A ) )
2613, 16gcdcld 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
2726adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
2928adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  e.  ZZ )
30 nn0z 10294 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
3130adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  ZZ )
32 dvdstr 12873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  ( O `
 A )  /\  ( O `  A ) 
||  x )  -> 
( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x )
)
3329, 22, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  ( O `  A )  /\  ( O `  A )  ||  x )  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
3425, 33mpand 657 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
357nn0zd 10363 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ )
3635ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ )
37 muldvds1 12864 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  ( N 
.x.  A ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x ) )
3829, 36, 31, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x  ->  ( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x )
)
39 dvdszrcl 12847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )
)
40 divides 12844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  ||  x  <->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x ) )
4241ibi 233 . . . . . . 7  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) ) 
||  x  ->  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x )
4335adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  e.  ZZ )
44 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  ZZ )
4528adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
46 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  =/=  0
)
47 dvdscmulr 12868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  y )  <->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  ||  y
) )
4843, 44, 45, 46, 47syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  <->  ( O `  ( N  .x.  A
) )  ||  y
) )
491, 5, 2odmulgid 15180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  y 
<->  ( O `  A
)  ||  ( y  x.  N ) ) )
5049adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  ( N  .x.  A ) )  ||  y 
<->  ( O `  A
)  ||  ( y  x.  N ) ) )
51 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
52 dvdsmulgcd 13044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( O `  A )  ||  (
y  x.  N )  <-> 
( O `  A
)  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
5344, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  N
)  <->  ( O `  A )  ||  (
y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) ) )
5448, 50, 533bitrrd 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y ) ) )
5545zcnd 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( N  gcd  ( O `  A
) )  e.  CC )
5644zcnd 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
5755, 56mulcomd 9099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  =  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) )
5857breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  y )  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) ) ) )
5954, 58bitrd 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
6059anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) ) )
61 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( O `  A
)  ||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  <->  ( O `  A )  ||  x
) )
62 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x ) )
6361, 62bibi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  <-> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) ) )  <->  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  ||  x ) ) )
6460, 63syl5ibcom 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A ) ) )  =  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6564rexlimdva 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  ( N  gcd  ( O `  A )
) )  =  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6642, 65syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6766adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  ||  x  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
6834, 38, 67pm5.21ndd 344 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =/=  0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  x 
<->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) )
6968ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) )
7015adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
717adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( N  .x.  A ) )  e.  NN0 )
7227, 71nn0mulcld 10269 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) )  e.  NN0 )
73 dvdsext 12890 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN0  /\  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  e.  NN0 )  -> 
( ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( O `  A )  ||  x  <->  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) 
||  x ) ) )
7569, 74mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  x.  ( O `
 ( N  .x.  A ) ) ) )
7620, 75pm2.61dane 2676 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  =  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  x.  ( O `  ( N  .x.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   0cc0 8980    x. cmul 8985   NN0cn0 10211   ZZcz 10272    || cdivides 12842    gcd cgcd 12996   Basecbs 13459   Grpcgrp 14675  .gcmg 14679   odcod 15153
This theorem is referenced by:  odmulgeq  15183  odinv  15187  gexexlem  15457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-od 15157
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