Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmulgeq Unicode version

Theorem odmulgeq 14886
 Description: A multiple of a point of finite order only has the same order if the multiplier is relatively prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1
odmulgid.2
odmulgid.3 .g
Assertion
Ref Expression
odmulgeq

Proof of Theorem odmulgeq
StepHypRef Expression
1 eqcom 2298 . 2
2 simpl2 959 . . . . . 6
3 odmulgid.1 . . . . . . 7
4 odmulgid.2 . . . . . . 7
53, 4odcl 14867 . . . . . 6
62, 5syl 15 . . . . 5
76nn0cnd 10036 . . . 4
8 simpl1 958 . . . . . . 7
9 simpl3 960 . . . . . . 7
10 odmulgid.3 . . . . . . . 8 .g
113, 10mulgcl 14600 . . . . . . 7
128, 9, 2, 11syl3anc 1182 . . . . . 6
133, 4odcl 14867 . . . . . 6
1412, 13syl 15 . . . . 5
1514nn0cnd 10036 . . . 4
16 nnne0 9794 . . . . . 6
1716adantl 452 . . . . 5
183, 4, 10odmulg2 14884 . . . . . . . . 9
1918adantr 451 . . . . . . . 8
20 breq1 4042 . . . . . . . 8
2119, 20syl5ibcom 211 . . . . . . 7
226nn0zd 10131 . . . . . . . 8
23 0dvds 12565 . . . . . . . 8
2422, 23syl 15 . . . . . . 7
2521, 24sylibd 205 . . . . . 6
2625necon3d 2497 . . . . 5
2717, 26mpd 14 . . . 4
28 diveq1 9470 . . . 4
297, 15, 27, 28syl3anc 1182 . . 3
309, 22gcdcld 12713 . . . . . . . 8
3130nn0cnd 10036 . . . . . . 7
3215, 31mulcomd 8872 . . . . . 6
333, 4, 10odmulg 14885 . . . . . . 7
3433adantr 451 . . . . . 6
3532, 34eqtr4d 2331 . . . . 5
367, 15, 31, 27divmuld 9574 . . . . 5
3735, 36mpbird 223 . . . 4
3837eqeq1d 2304 . . 3
3929, 38bitr3d 246 . 2
401, 39syl5bb 248 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   class class class wbr 4039  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758   cdiv 9439  cn 9762  cn0 9981  cz 10040   cdivides 12547   cgcd 12701  cbs 13164  cgrp 14378  .gcmg 14382  cod 14856 This theorem is referenced by:  odngen  14904 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-od 14860
 Copyright terms: Public domain W3C validator