MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmulgid Unicode version

Theorem odmulgid 15153
Description: A relationship between the order of a multiple and the order of the basepoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odmulgid  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  K 
<->  ( O `  A
)  ||  ( K  x.  N ) ) )

Proof of Theorem odmulgid
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  e.  Grp )
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
3 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  A  e.  X
)
5 odmulgid.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 odmulgid.3 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
75, 6mulgass 14883 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( K  x.  N )  .x.  A )  =  ( K  .x.  ( N 
.x.  A ) ) )
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  N )  .x.  A )  =  ( K  .x.  ( N 
.x.  A ) ) )
98eqeq1d 2420 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  x.  N ) 
.x.  A )  =  ( 0g `  G
)  <->  ( K  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
102, 3zmulcld 10345 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N )  e.  ZZ )
11 odmulgid.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
12 eqid 2412 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
135, 11, 6, 12oddvds 15148 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( K  x.  N
)  <->  ( ( K  x.  N )  .x.  A )  =  ( 0g `  G ) ) )
141, 4, 10, 13syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( K  x.  N
)  <->  ( ( K  x.  N )  .x.  A )  =  ( 0g `  G ) ) )
155, 6mulgcl 14870 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
161, 3, 4, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X
)
175, 11, 6, 12oddvds 15148 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  .x.  A )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( N  .x.  A ) ) 
||  K  <->  ( K  .x.  ( N  .x.  A
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
181, 16, 2, 17syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  K 
<->  ( K  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
199, 14, 183bitr4rd 278 1  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  K 
<->  ( O `  A
)  ||  ( K  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    x. cmul 8959   ZZcz 10246    || cdivides 12815   Basecbs 13432   0gc0g 13686   Grpcgrp 14648  .gcmg 14652   odcod 15126
This theorem is referenced by:  odmulg2  15154  odmulg  15155  ablfacrp  15587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-od 15130
  Copyright terms: Public domain W3C validator