MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmulgid Structured version   Unicode version

Theorem odmulgid 15195
Description: A relationship between the order of a multiple and the order of the basepoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odmulgid  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  K 
<->  ( O `  A
)  ||  ( K  x.  N ) ) )

Proof of Theorem odmulgid
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  e.  Grp )
2 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
3 simpl3 963 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4 simpl2 962 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  A  e.  X
)
5 odmulgid.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 odmulgid.3 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
75, 6mulgass 14925 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( K  x.  N )  .x.  A )  =  ( K  .x.  ( N 
.x.  A ) ) )
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  N )  .x.  A )  =  ( K  .x.  ( N 
.x.  A ) ) )
98eqeq1d 2446 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  x.  N ) 
.x.  A )  =  ( 0g `  G
)  <->  ( K  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
102, 3zmulcld 10386 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N )  e.  ZZ )
11 odmulgid.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
12 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
135, 11, 6, 12oddvds 15190 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( K  x.  N
)  <->  ( ( K  x.  N )  .x.  A )  =  ( 0g `  G ) ) )
141, 4, 10, 13syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( K  x.  N
)  <->  ( ( K  x.  N )  .x.  A )  =  ( 0g `  G ) ) )
155, 6mulgcl 14912 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
161, 3, 4, 15syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X
)
175, 11, 6, 12oddvds 15190 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N  .x.  A )  e.  X  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( N  .x.  A ) ) 
||  K  <->  ( K  .x.  ( N  .x.  A
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
181, 16, 2, 17syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  K 
<->  ( K  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
199, 14, 183bitr4rd 279 1  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 ( N  .x.  A ) )  ||  K 
<->  ( O `  A
)  ||  ( K  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    x. cmul 9000   ZZcz 10287    || cdivides 12857   Basecbs 13474   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690  .gcmg 14694   odcod 15168
This theorem is referenced by:  odmulg2  15196  odmulg  15197  ablfacrp  15629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-od 15172
  Copyright terms: Public domain W3C validator