MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odngen Unicode version

Theorem odngen 15166
Description: A cyclic subgroup of size  ( O `  A ) has  ( phi `  ( O `  A
) ) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odhash.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odhash.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odngen  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } )  =  ( phi `  ( O `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, K    x, O    x, X

Proof of Theorem odngen
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) )  =  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) )
21mptpreima 5322 . . 3  |-  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } )  =  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G
) A )  e. 
{ x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }
32fveq2i 5690 . 2  |-  ( # `  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } ) )  =  ( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G
) A )  e. 
{ x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }
)
4 odhash.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
6 odhash.o . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
7 odhash.k . . . . 5  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
84, 5, 6, 7odf1o2 15162 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `
 { A }
) )
9 f1ocnv 5646 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `
 { A }
)  ->  `' (
y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-onto-> ( 0..^ ( O `
 A ) ) )
10 f1of1 5632 . . . 4  |-  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-onto-> ( 0..^ ( O `
 A ) )  ->  `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( K `
 { A }
) -1-1-> ( 0..^ ( O `  A ) ) )
118, 9, 103syl 19 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( y (.g `  G
) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O `  A ) ) )
12 ssrab2 3388 . . 3  |-  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  C_  ( K `  { A } )
13 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( K `
 { A }
)  e.  _V
1413rabex 4314 . . . . 5  |-  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  e.  _V
1514f1imaen 7128 . . . 4  |-  ( ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( y (.g `  G
) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O `  A ) )  /\  { x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) }  C_  ( K `  { A } ) )  -> 
( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } ) 
~~  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } )
16 hasheni 11587 . . . 4  |-  ( ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( y (.g `  G
) A ) )
" { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } ) 
~~  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  ->  (
# `  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( y (.g `  G
) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O `  A ) )  /\  { x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) }  C_  ( K `  { A } ) )  -> 
( # `  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )
1811, 12, 17sylancl 644 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )
19 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  A  e.  X )
21 elfzoelz 11095 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  ->  y  e.  ZZ )
2221adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
234, 5, 7cycsubg2cl 14933 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y (.g `  G
) A )  e.  ( K `  { A } ) )
2419, 20, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( y (.g `  G
) A )  e.  ( K `  { A } ) )
25 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (.g `  G ) A )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( y (.g `  G ) A ) ) )
2625eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (.g `  G ) A )  ->  ( ( O `
 x )  =  ( O `  A
)  <->  ( O `  ( y (.g `  G
) A ) )  =  ( O `  A ) ) )
2726elrab3 3053 . . . . . . 7  |-  ( ( y (.g `  G ) A )  e.  ( K `
 { A }
)  ->  ( (
y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  <->  ( O `  ( y (.g `  G
) A ) )  =  ( O `  A ) ) )
2824, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( ( y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  <->  ( O `  ( y (.g `  G
) A ) )  =  ( O `  A ) ) )
29 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN )
304, 6, 5odmulgeq 15148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( O `  A
)  e.  NN )  ->  ( ( O `
 ( y (.g `  G ) A ) )  =  ( O `
 A )  <->  ( y  gcd  ( O `  A
) )  =  1 ) )
3119, 20, 22, 29, 30syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( ( O `  ( y (.g `  G
) A ) )  =  ( O `  A )  <->  ( y  gcd  ( O `  A
) )  =  1 ) )
3228, 31bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( ( y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  <->  ( y  gcd  ( O `  A
) )  =  1 ) )
3332rabbidva 2907 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G
) A )  e. 
{ x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }  =  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y  gcd  ( O `  A )
)  =  1 } )
3433fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }
)  =  ( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y  gcd  ( O `  A )
)  =  1 } ) )
35 dfphi2 13118 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( phi `  ( O `  A ) )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |  ( y  gcd  ( O `
 A ) )  =  1 } ) )
36353ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( phi `  ( O `  A )
)  =  ( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y  gcd  ( O `  A )
)  =  1 } ) )
3734, 36eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }
)  =  ( phi `  ( O `  A
) ) )
383, 18, 373eqtr3a 2460 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } )  =  ( phi `  ( O `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090   #chash 11573    gcd cgcd 12961   phicphi 13108   Basecbs 13424  mrClscmrc 13763   Grpcgrp 14640  .gcmg 14644  SubGrpcsubg 14893   odcod 15118
This theorem is referenced by:  proot1hash  27387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-phi 13110  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-od 15122
  Copyright terms: Public domain W3C validator