MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odngen Structured version   Unicode version

Theorem odngen 15211
Description: A cyclic subgroup of size  ( O `  A ) has  ( phi `  ( O `  A
) ) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
odhash.o  |-  O  =  ( od `  G
)
odhash.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
odngen  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } )  =  ( phi `  ( O `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, K    x, O    x, X

Proof of Theorem odngen
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) )  =  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) )
21mptpreima 5363 . . 3  |-  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } )  =  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G
) A )  e. 
{ x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }
32fveq2i 5731 . 2  |-  ( # `  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } ) )  =  ( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G
) A )  e. 
{ x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }
)
4 odhash.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2436 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
6 odhash.o . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
7 odhash.k . . . . 5  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
84, 5, 6, 7odf1o2 15207 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `
 { A }
) )
9 f1ocnv 5687 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( 0..^ ( O `  A ) ) -1-1-onto-> ( K `
 { A }
)  ->  `' (
y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-onto-> ( 0..^ ( O `
 A ) ) )
10 f1of1 5673 . . . 4  |-  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-onto-> ( 0..^ ( O `
 A ) )  ->  `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) : ( K `
 { A }
) -1-1-> ( 0..^ ( O `  A ) ) )
118, 9, 103syl 19 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( y (.g `  G
) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O `  A ) ) )
12 ssrab2 3428 . . 3  |-  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  C_  ( K `  { A } )
13 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( K `
 { A }
)  e.  _V
1413rabex 4354 . . . . 5  |-  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  e.  _V
1514f1imaen 7169 . . . 4  |-  ( ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( y (.g `  G
) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O `  A ) )  /\  { x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) }  C_  ( K `  { A } ) )  -> 
( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } ) 
~~  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } )
16 hasheni 11632 . . . 4  |-  ( ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( y (.g `  G
) A ) )
" { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } ) 
~~  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  ->  (
# `  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `
 A ) ) 
|->  ( y (.g `  G
) A ) ) : ( K `  { A } ) -1-1-> ( 0..^ ( O `  A ) )  /\  { x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) }  C_  ( K `  { A } ) )  -> 
( # `  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )
1811, 12, 17sylancl 644 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  ( `' ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |->  ( y (.g `  G ) A ) ) " {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( K `
 { A }
)  |  ( O `
 x )  =  ( O `  A
) } ) )
19 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  ->  A  e.  X )
21 elfzoelz 11140 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  ->  y  e.  ZZ )
2221adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
234, 5, 7cycsubg2cl 14978 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y (.g `  G
) A )  e.  ( K `  { A } ) )
2419, 20, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( y (.g `  G
) A )  e.  ( K `  { A } ) )
25 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (.g `  G ) A )  ->  ( O `  x )  =  ( O `  ( y (.g `  G ) A ) ) )
2625eqeq1d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (.g `  G ) A )  ->  ( ( O `
 x )  =  ( O `  A
)  <->  ( O `  ( y (.g `  G
) A ) )  =  ( O `  A ) ) )
2726elrab3 3093 . . . . . . 7  |-  ( ( y (.g `  G ) A )  e.  ( K `
 { A }
)  ->  ( (
y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  <->  ( O `  ( y (.g `  G
) A ) )  =  ( O `  A ) ) )
2824, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( ( y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  <->  ( O `  ( y (.g `  G
) A ) )  =  ( O `  A ) ) )
29 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN )
304, 6, 5odmulgeq 15193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( O `  A
)  e.  NN )  ->  ( ( O `
 ( y (.g `  G ) A ) )  =  ( O `
 A )  <->  ( y  gcd  ( O `  A
) )  =  1 ) )
3119, 20, 22, 29, 30syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( ( O `  ( y (.g `  G
) A ) )  =  ( O `  A )  <->  ( y  gcd  ( O `  A
) )  =  1 ) )
3228, 31bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) ) )  -> 
( ( y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) }  <->  ( y  gcd  ( O `  A
) )  =  1 ) )
3332rabbidva 2947 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  ->  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G
) A )  e. 
{ x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }  =  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y  gcd  ( O `  A )
)  =  1 } )
3433fveq2d 5732 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }
)  =  ( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y  gcd  ( O `  A )
)  =  1 } ) )
35 dfphi2 13163 . . . 4  |-  ( ( O `  A )  e.  NN  ->  ( phi `  ( O `  A ) )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ ( O `  A
) )  |  ( y  gcd  ( O `
 A ) )  =  1 } ) )
36353ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( phi `  ( O `  A )
)  =  ( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y  gcd  ( O `  A )
)  =  1 } ) )
3734, 36eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  { y  e.  ( 0..^ ( O `  A ) )  |  ( y (.g `  G ) A )  e.  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } }
)  =  ( phi `  ( O `  A
) ) )
383, 18, 373eqtr3a 2492 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( # `  { x  e.  ( K `  { A } )  |  ( O `  x )  =  ( O `  A ) } )  =  ( phi `  ( O `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   "cima 4881   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~~ cen 7106   0cc0 8990   1c1 8991   NNcn 10000   ZZcz 10282  ..^cfzo 11135   #chash 11618    gcd cgcd 13006   phicphi 13153   Basecbs 13469  mrClscmrc 13808   Grpcgrp 14685  .gcmg 14689  SubGrpcsubg 14938   odcod 15163
This theorem is referenced by:  proot1hash  27496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-phi 13155  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-od 15167
  Copyright terms: Public domain W3C validator