MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odrngstr Unicode version

Theorem odrngstr 13311
Description: Functionality of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odrngstr.w  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. ,  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
Assertion
Ref Expression
odrngstr  |-  W Struct  <. 1 , ; 1 2 >.

Proof of Theorem odrngstr
StepHypRef Expression
1 odrngstr.w . 2  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. ,  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
32rngstr 13255 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >.
4 9nn 9884 . . . 4  |-  9  e.  NN
5 tsetndx 13293 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
6 9lt10 9922 . . . 4  |-  9  <  10
7 10nn 9885 . . . 4  |-  10  e.  NN
8 plendx 13300 . . . 4  |-  ( le
`  ndx )  =  10
9 dec10 10154 . . . . 5  |-  10  = ; 1 0
10 1nn0 9981 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
11 0nn0 9980 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
12 2nn 9877 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
13 2pos 9828 . . . . . 6  |-  0  <  2
1410, 11, 12, 13declt 10145 . . . . 5  |- ; 1 0  < ; 1 2
159, 14eqbrtri 4042 . . . 4  |-  10  < ; 1 2
1610, 12decnncl 10137 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN
17 dsndx 13309 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
184, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17strle3 13241 . . 3  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  .<_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  D >. } Struct  <. 9 , ; 1
2 >.
19 3lt9 9919 . . 3  |-  3  <  9
203, 18, 19strleun 13238 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. ,  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
211, 20eqbrtri 4042 1  |-  W Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    u. cun 3150   {ctp 3642   <.cop 3643   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867   2c2 9795   3c3 9796   9c9 9802   10c10 9803  ;cdc 10124   Struct cstr 13144   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  TopSetcts 13214   lecple 13215   distcds 13217
This theorem is referenced by:  odrngbas  13312  odrngplusg  13313  odrngmulr  13314  odrngtset  13315  odrngle  13316  odrngds  13317  xrsstr  16381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230
  Copyright terms: Public domain W3C validator