MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odubas Unicode version

Theorem odubas 14237
Description: Base set of an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d  |-  D  =  (ODual `  O )
odubas.b  |-  B  =  ( Base `  O
)
Assertion
Ref Expression
odubas  |-  B  =  ( Base `  D
)

Proof of Theorem odubas
StepHypRef Expression
1 baseid 13190 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 8837 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1lt10 9930 . . . . 5  |-  1  <  10
42, 3ltneii 8931 . . . 4  |-  1  =/=  10
5 basendx 13193 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
6 plendx 13300 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =  10
75, 6neeq12i 2458 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( le `  ndx ) 
<->  1  =/=  10 )
84, 7mpbir 200 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( le `  ndx )
91, 8setsnid 13188 . 2  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  ( O sSet  <.
( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )
10 odubas.b . 2  |-  B  =  ( Base `  O
)
11 oduval.d . . . 4  |-  D  =  (ODual `  O )
12 eqid 2283 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
1311, 12oduval 14234 . . 3  |-  D  =  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
1413fveq2i 5528 . 2  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  ( O sSet  <.
( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )
159, 10, 143eqtr4i 2313 1  |-  B  =  ( Base `  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    =/= wne 2446   <.cop 3643   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738   10c10 9803   ndxcnx 13145   sSet csts 13146   Basecbs 13148   lecple 13215  ODualcodu 14232
This theorem is referenced by:  odupos  14239  oduposb  14240  oduglb  14243  odumeet  14244  odulub  14245  odujoin  14246  odulatb  14247  oduclatb  14248  posglbd  14253  latmass  14291  latdisd  14293  odudlatb  14299  dlatjmdi  14300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ple 13228  df-odu 14233
  Copyright terms: Public domain W3C validator