MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduclatb Unicode version

Theorem oduclatb 14500
Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
Assertion
Ref Expression
oduclatb  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )

Proof of Theorem oduclatb
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2909 . 2  |-  ( O  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
2 noel 3577 . . . . 5  |-  -.  (
( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/)
3 ssid 3312 . . . . . 6  |-  (/)  C_  (/)
4 base0 13435 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
5 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( lub `  (/) )  =  ( lub `  (/) )
64, 5clatlubcl 14469 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  CLat  /\  (/)  C_  (/) )  -> 
( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
73, 6mpan2 653 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  CLat  ->  ( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
82, 7mto 169 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  CLat
9 oduglb.d . . . . . 6  |-  D  =  (ODual `  O )
10 fvprc 5664 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
119, 10syl5eq 2433 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
1211eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( D  e.  CLat  <->  (/)  e.  CLat ) )
138, 12mtbiri 295 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  -.  D  e.  CLat )
1413con4i 124 . 2  |-  ( D  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
159oduposb 14492 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  Poset  <->  D  e.  Poset
) )
16 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
)  <->  ( ( ( glb `  O ) `
 a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( lub `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) )
17 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  O )  =  ( glb `  O )
189, 17odulub 14497 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  _V  ->  ( glb `  O )  =  ( lub `  D
) )
1918fveq1d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( glb `  O
) `  a )  =  ( ( lub `  D ) `  a
) )
2019eleq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  <->  ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O ) ) )
21 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
229, 21oduglb 14495 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
2322fveq1d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( lub `  O
) `  a )  =  ( ( glb `  D ) `  a
) )
2423eleq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  <->  ( ( glb `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O ) ) )
2520, 24anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( ( glb `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) )  <->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )
2616, 25syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) )  <->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )
2726imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) )  <->  ( a  C_  ( Base `  O
)  ->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
2827albidv 1632 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  ( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) )  <->  A. a
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) ) ) )
2915, 28anbi12d 692 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( O  e.  Poset  /\ 
A. a ( a 
C_  ( Base `  O
)  ->  ( (
( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )  <->  ( D  e.  Poset  /\  A. a
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) ) ) ) )
30 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
3130, 21, 17isclat 14467 . . 3  |-  ( O  e.  CLat  <->  ( O  e. 
Poset  /\  A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  (
( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
329, 30odubas 14489 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
33 eqid 2389 . . . 4  |-  ( lub `  D )  =  ( lub `  D )
34 eqid 2389 . . . 4  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
3532, 33, 34isclat 14467 . . 3  |-  ( D  e.  CLat  <->  ( D  e. 
Poset  /\  A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  (
( ( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
3629, 31, 353bitr4g 280 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat ) )
371, 14, 36pm5.21nii 343 1  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ` cfv 5396   Basecbs 13398   Posetcpo 14326   lubclub 14328   glbcglb 14329   CLatccla 14465  ODualcodu 14484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ple 13478  df-poset 14332  df-lub 14360  df-glb 14361  df-clat 14466  df-odu 14485
  Copyright terms: Public domain W3C validator