MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduclatb Unicode version

Theorem oduclatb 14264
Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
Assertion
Ref Expression
oduclatb  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )

Proof of Theorem oduclatb
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( O  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
2 noel 3472 . . . . 5  |-  -.  (
( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/)
3 ssid 3210 . . . . . 6  |-  (/)  C_  (/)
4 base0 13201 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
5 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( lub `  (/) )  =  ( lub `  (/) )
64, 5clatlubcl 14233 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  CLat  /\  (/)  C_  (/) )  -> 
( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
73, 6mpan2 652 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  CLat  ->  ( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
82, 7mto 167 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  CLat
9 oduglb.d . . . . . 6  |-  D  =  (ODual `  O )
10 fvprc 5535 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
119, 10syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
1211eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( D  e.  CLat  <->  (/)  e.  CLat ) )
138, 12mtbiri 294 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  -.  D  e.  CLat )
1413con4i 122 . 2  |-  ( D  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
159oduposb 14256 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  Poset  <->  D  e.  Poset
) )
16 ancom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
)  <->  ( ( ( glb `  O ) `
 a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( lub `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) )
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  O )  =  ( glb `  O )
189, 17odulub 14261 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  _V  ->  ( glb `  O )  =  ( lub `  D
) )
1918fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( glb `  O
) `  a )  =  ( ( lub `  D ) `  a
) )
2019eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  <->  ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O ) ) )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
229, 21oduglb 14259 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
2322fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( lub `  O
) `  a )  =  ( ( glb `  D ) `  a
) )
2423eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  <->  ( ( glb `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O ) ) )
2520, 24anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( ( glb `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) )  <->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )
2616, 25syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) )  <->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )
2726imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) )  <->  ( a  C_  ( Base `  O
)  ->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
2827albidv 1615 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  ( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) )  <->  A. a
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) ) ) )
2915, 28anbi12d 691 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( O  e.  Poset  /\ 
A. a ( a 
C_  ( Base `  O
)  ->  ( (
( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )  <->  ( D  e.  Poset  /\  A. a
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) ) ) ) )
30 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
3130, 21, 17isclat 14231 . . 3  |-  ( O  e.  CLat  <->  ( O  e. 
Poset  /\  A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  (
( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
329, 30odubas 14253 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
33 eqid 2296 . . . 4  |-  ( lub `  D )  =  ( lub `  D )
34 eqid 2296 . . . 4  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
3532, 33, 34isclat 14231 . . 3  |-  ( D  e.  CLat  <->  ( D  e. 
Poset  /\  A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  (
( ( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
3629, 31, 353bitr4g 279 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat ) )
371, 14, 36pm5.21nii 342 1  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271   Basecbs 13164   Posetcpo 14090   lubclub 14092   glbcglb 14093   CLatccla 14229  ODualcodu 14248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ple 13244  df-poset 14096  df-lub 14124  df-glb 14125  df-clat 14230  df-odu 14249
  Copyright terms: Public domain W3C validator