MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduclatb Structured version   Unicode version

Theorem oduclatb 14563
Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
Assertion
Ref Expression
oduclatb  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )

Proof of Theorem oduclatb
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2  |-  ( O  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
2 noel 3624 . . . . 5  |-  -.  (
( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/)
3 ssid 3359 . . . . . 6  |-  (/)  C_  (/)
4 base0 13498 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
5 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( lub `  (/) )  =  ( lub `  (/) )
64, 5clatlubcl 14532 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  CLat  /\  (/)  C_  (/) )  -> 
( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
73, 6mpan2 653 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  CLat  ->  ( ( lub `  (/) ) `  (/) )  e.  (/) )
82, 7mto 169 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  CLat
9 oduglb.d . . . . . 6  |-  D  =  (ODual `  O )
10 fvprc 5714 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
119, 10syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
1211eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( D  e.  CLat  <->  (/)  e.  CLat ) )
138, 12mtbiri 295 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  -.  D  e.  CLat )
1413con4i 124 . 2  |-  ( D  e.  CLat  ->  O  e. 
_V )
159oduposb 14555 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  Poset  <->  D  e.  Poset
) )
16 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
)  <->  ( ( ( glb `  O ) `
 a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( lub `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) )
17 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  O )  =  ( glb `  O )
189, 17odulub 14560 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  _V  ->  ( glb `  O )  =  ( lub `  D
) )
1918fveq1d 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( glb `  O
) `  a )  =  ( ( lub `  D ) `  a
) )
2019eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  <->  ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O ) ) )
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
229, 21oduglb 14558 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
2322fveq1d 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( lub `  O
) `  a )  =  ( ( glb `  D ) `  a
) )
2423eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  <->  ( ( glb `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O ) ) )
2520, 24anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( ( glb `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) )  <->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )
2616, 25syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) )  <->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )
2726imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) )  <->  ( a  C_  ( Base `  O
)  ->  ( (
( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
2827albidv 1635 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  ( ( ( lub `  O ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) )  <->  A. a
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) ) ) )
2915, 28anbi12d 692 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( O  e.  Poset  /\ 
A. a ( a 
C_  ( Base `  O
)  ->  ( (
( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) )  <->  ( D  e.  Poset  /\  A. a
( a  C_  ( Base `  O )  -> 
( ( ( lub `  D ) `  a
)  e.  ( Base `  O )  /\  (
( glb `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
) ) ) ) ) )
30 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
3130, 21, 17isclat 14530 . . 3  |-  ( O  e.  CLat  <->  ( O  e. 
Poset  /\  A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  (
( ( lub `  O
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  O ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
329, 30odubas 14552 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
33 eqid 2435 . . . 4  |-  ( lub `  D )  =  ( lub `  D )
34 eqid 2435 . . . 4  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
3532, 33, 34isclat 14530 . . 3  |-  ( D  e.  CLat  <->  ( D  e. 
Poset  /\  A. a ( a  C_  ( Base `  O )  ->  (
( ( lub `  D
) `  a )  e.  ( Base `  O
)  /\  ( ( glb `  D ) `  a )  e.  (
Base `  O )
) ) ) )
3629, 31, 353bitr4g 280 . 2  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat ) )
371, 14, 36pm5.21nii 343 1  |-  ( O  e.  CLat  <->  D  e.  CLat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ` cfv 5446   Basecbs 13461   Posetcpo 14389   lubclub 14391   glbcglb 14392   CLatccla 14528  ODualcodu 14547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ple 13541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-glb 14424  df-clat 14529  df-odu 14548
  Copyright terms: Public domain W3C validator