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Theorem oduglb 14568
Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
oduglb.l  |-  U  =  ( lub `  O
)
Assertion
Ref Expression
oduglb  |-  ( O  e.  V  ->  U  =  ( glb `  D
) )

Proof of Theorem oduglb
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oduglb.l . 2  |-  U  =  ( lub `  O
)
2 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
3 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  c  e. 
_V
42, 3brcnv 5057 . . . . . . . . 9  |-  ( b `' ( le `  O ) c  <->  c ( le `  O ) b )
54ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  <->  A. c  e.  a  c ( le `  O ) b )
6 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  d  e. 
_V
76, 3brcnv 5057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d `' ( le `  O ) c  <->  c ( le `  O ) d )
87ralbii 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  <->  A. c  e.  a  c ( le `  O ) d )
96, 2brcnv 5057 . . . . . . . . . 10  |-  ( d `' ( le `  O ) b  <->  b ( le `  O ) d )
108, 9imbi12i 318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. c  e.  a  d `' ( le
`  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b )  <->  ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) d  ->  b
( le `  O
) d ) )
1110ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  -> 
d `' ( le
`  O ) b )  <->  A. d  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  c ( le
`  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) )
125, 11anbi12i 680 . . . . . . 7  |-  ( ( A. c  e.  a  b `' ( le
`  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) )  <->  ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) d  ->  b
( le `  O
) d ) ) )
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( Base `  O
)  ->  ( ( A. c  e.  a 
b `' ( le
`  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) )  <->  ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) d  ->  b
( le `  O
) d ) ) ) )
1413riotabiia 6569 . . . . 5  |-  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) )  =  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) ) )
1514mpteq2i 4294 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) ) )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) ) ) )
1615eqcomi 2442 . . 3  |-  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) ) ) )  =  ( a  e. 
~P ( Base `  O
)  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) ) )
17 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
19 eqid 2438 . . . 4  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
2017, 18, 19lubfval 14437 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  ( lub `  O )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  c ( le
`  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) ) ) ) )
21 oduglb.d . . . . 5  |-  D  =  (ODual `  O )
22 fvex 5744 . . . . 5  |-  (ODual `  O )  e.  _V
2321, 22eqeltri 2508 . . . 4  |-  D  e. 
_V
2421, 17odubas 14562 . . . . 5  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
2521, 18oduleval 14560 . . . . 5  |-  `' ( le `  O )  =  ( le `  D )
26 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
2724, 25, 26glbfval 14442 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  ( glb `  D )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) ) ) )
2823, 27mp1i 12 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  ( glb `  D )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) ) ) )
2916, 20, 283eqtr4a 2496 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
301, 29syl5eq 2482 1  |-  ( O  e.  V  ->  U  =  ( glb `  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   ` cfv 5456   iota_crio 6544   Basecbs 13471   lecple 13538   lubclub 14401   glbcglb 14402  ODualcodu 14557
This theorem is referenced by:  odumeet  14569  oduclatb  14573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ple 13551  df-lub 14433  df-glb 14434  df-odu 14558
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