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Theorem oduglb 14243
Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
oduglb.l  |-  U  =  ( lub `  O
)
Assertion
Ref Expression
oduglb  |-  ( O  e.  V  ->  U  =  ( glb `  D
) )

Proof of Theorem oduglb
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oduglb.l . 2  |-  U  =  ( lub `  O
)
2 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
3 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  c  e. 
_V
42, 3brcnv 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( b `' ( le `  O ) c  <->  c ( le `  O ) b )
54ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  <->  A. c  e.  a  c ( le `  O ) b )
6 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  d  e. 
_V
76, 3brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d `' ( le `  O ) c  <->  c ( le `  O ) d )
87ralbii 2567 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  <->  A. c  e.  a  c ( le `  O ) d )
96, 2brcnv 4864 . . . . . . . . . 10  |-  ( d `' ( le `  O ) b  <->  b ( le `  O ) d )
108, 9imbi12i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. c  e.  a  d `' ( le
`  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b )  <->  ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) d  ->  b
( le `  O
) d ) )
1110ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  -> 
d `' ( le
`  O ) b )  <->  A. d  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  c ( le
`  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) )
125, 11anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( A. c  e.  a  b `' ( le
`  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) )  <->  ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) d  ->  b
( le `  O
) d ) ) )
1312a1i 10 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( Base `  O
)  ->  ( ( A. c  e.  a 
b `' ( le
`  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) )  <->  ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  c
( le `  O
) d  ->  b
( le `  O
) d ) ) ) )
1413riotabiia 6322 . . . . 5  |-  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) )  =  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) ) )
1514mpteq2i 4103 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) ) )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) ) ) )
1615eqcomi 2287 . . 3  |-  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) ) ) )  =  ( a  e. 
~P ( Base `  O
)  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) ) )
17 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
18 eqid 2283 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
19 eqid 2283 . . . 4  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
2017, 18, 19lubfval 14112 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  ( lub `  O )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  c ( le
`  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c ( le `  O ) d  ->  b ( le
`  O ) d ) ) ) ) )
21 oduglb.d . . . . 5  |-  D  =  (ODual `  O )
22 fvex 5539 . . . . 5  |-  (ODual `  O )  e.  _V
2321, 22eqeltri 2353 . . . 4  |-  D  e. 
_V
2421, 17odubas 14237 . . . . 5  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
2521, 18oduleval 14235 . . . . 5  |-  `' ( le `  O )  =  ( le `  D )
26 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
2724, 25, 26glbfval 14117 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  ( glb `  D )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) ) ) )
2823, 27mp1i 11 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  ( glb `  D )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  b `' ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d `' ( le `  O ) c  ->  d `' ( le `  O ) b ) ) ) ) )
2916, 20, 283eqtr4a 2341 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
301, 29syl5eq 2327 1  |-  ( O  e.  V  ->  U  =  ( glb `  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ` cfv 5255   iota_crio 6297   Basecbs 13148   lecple 13215   lubclub 14076   glbcglb 14077  ODualcodu 14232
This theorem is referenced by:  odumeet  14244  oduclatb  14248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ple 13228  df-lub 14108  df-glb 14109  df-odu 14233
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