MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odujoin Structured version   Unicode version

Theorem odujoin 14569
Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
odujoin.m  |-  ./\  =  ( meet `  O )
Assertion
Ref Expression
odujoin  |-  ./\  =  ( join `  D )

Proof of Theorem odujoin
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odujoin.m . 2  |-  ./\  =  ( meet `  O )
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( glb `  O )  =  ( glb `  O )
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( meet `  O )  =  (
meet `  O )
52, 3, 4meetfval 14451 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( meet `  O )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( glb `  O
) `  { a ,  b } ) ) )
6 oduglb.d . . . . . . 7  |-  D  =  (ODual `  O )
7 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  (ODual `  O )  e.  _V
86, 7eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
96, 2odubas 14560 . . . . . . 7  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
10 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( lub `  D )  =  ( lub `  D )
11 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( join `  D )  =  (
join `  D )
129, 10, 11joinfval 14444 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  ( join `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( lub `  D
) `  { a ,  b } ) ) )
138, 12mp1i 12 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  ( join `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( lub `  D
) `  { a ,  b } ) ) )
146, 3odulub 14568 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( glb `  O )  =  ( lub `  D
) )
1514fveq1d 5730 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( glb `  O
) `  { a ,  b } )  =  ( ( lub `  D ) `  {
a ,  b } ) )
16153ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  _V  /\  a  e.  ( Base `  O )  /\  b  e.  ( Base `  O
) )  ->  (
( glb `  O
) `  { a ,  b } )  =  ( ( lub `  D ) `  {
a ,  b } ) )
1716mpt2eq3dva 6138 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  (
a  e.  ( Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O
)  |->  ( ( glb `  O ) `  {
a ,  b } ) )  =  ( a  e.  ( Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O
)  |->  ( ( lub `  D ) `  {
a ,  b } ) ) )
1813, 17eqtr4d 2471 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( join `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( glb `  O
) `  { a ,  b } ) ) )
195, 18eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ( meet `  O )  =  ( join `  D
) )
20 fvprc 5722 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
meet `  O )  =  (/) )
21 fvprc 5722 . . . . . . 7  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
226, 21syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
2322fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
join `  D )  =  ( join `  (/) ) )
24 join0 14565 . . . . 5  |-  ( join `  (/) )  =  (/)
2523, 24syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
join `  D )  =  (/) )
2620, 25eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
meet `  O )  =  ( join `  D
) )
2719, 26pm2.61i 158 . 2  |-  ( meet `  O )  =  (
join `  D )
281, 27eqtri 2456 1  |-  ./\  =  ( join `  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   {cpr 3815   ` cfv 5454    e. cmpt2 6083   Basecbs 13469   lubclub 14399   glbcglb 14400   joincjn 14401   meetcmee 14402  ODualcodu 14555
This theorem is referenced by:  odulatb  14570  latmass  14614  latdisd  14616  odudlatb  14622  dlatjmdi  14623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ple 13549  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-odu 14556
  Copyright terms: Public domain W3C validator