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Theorem oduleval 14251
Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d  |-  D  =  (ODual `  O )
oduval.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
oduleval  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)

Proof of Theorem oduleval
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  e. 
_V
21cnvex 5225 . . . 4  |-  `' ( le `  O )  e.  _V
3 pleid 13317 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
43setsid 13203 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  `' ( le `  O )  e.  _V )  ->  `' ( le
`  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
52, 4mpan2 652 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
63str0 13200 . . . 4  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
7 fvprc 5535 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  O )  =  (/) )
87cnveqd 4873 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  `' (/) )
9 cnv0 5100 . . . . 5  |-  `' (/)  =  (/)
108, 9syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  (/) )
11 reldmsets 13186 . . . . . 6  |-  Rel  dom sSet
1211ovprc1 5902 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. )  =  (/) )
1312fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )  =  ( le `  (/) ) )
146, 10, 133eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  ( le
`  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
) )
155, 14pm2.61i 156 . 2  |-  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
16 oduval.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
1716cnveqi 4872 . 2  |-  `'  .<_  =  `' ( le `  O )
18 oduval.d . . . 4  |-  D  =  (ODual `  O )
19 eqid 2296 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
2018, 19oduval 14250 . . 3  |-  D  =  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
2120fveq2i 5544 . 2  |-  ( le
`  D )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
2215, 17, 213eqtr4i 2326 1  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   <.cop 3656   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ndxcnx 13161   sSet csts 13162   lecple 13231  ODualcodu 14248
This theorem is referenced by:  oduleg  14252  odupos  14255  oduposb  14256  oduglb  14259  odulub  14261  posglbd  14269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-sets 13170  df-ple 13244  df-odu 14249
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