MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduleval Structured version   Unicode version

Theorem oduleval 14550
Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d  |-  D  =  (ODual `  O )
oduval.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
oduleval  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)

Proof of Theorem oduleval
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  e. 
_V
21cnvex 5398 . . . 4  |-  `' ( le `  O )  e.  _V
3 pleid 13614 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
43setsid 13500 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  `' ( le `  O )  e.  _V )  ->  `' ( le
`  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
52, 4mpan2 653 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
63str0 13497 . . . 4  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
7 fvprc 5714 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  O )  =  (/) )
87cnveqd 5040 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  `' (/) )
9 cnv0 5267 . . . . 5  |-  `' (/)  =  (/)
108, 9syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  (/) )
11 reldmsets 13483 . . . . . 6  |-  Rel  dom sSet
1211ovprc1 6101 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. )  =  (/) )
1312fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )  =  ( le `  (/) ) )
146, 10, 133eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  ( le
`  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
) )
155, 14pm2.61i 158 . 2  |-  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
16 oduval.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
1716cnveqi 5039 . 2  |-  `'  .<_  =  `' ( le `  O )
18 oduval.d . . . 4  |-  D  =  (ODual `  O )
19 eqid 2435 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
2018, 19oduval 14549 . . 3  |-  D  =  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
2120fveq2i 5723 . 2  |-  ( le
`  D )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
2215, 17, 213eqtr4i 2465 1  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   <.cop 3809   `'ccnv 4869   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ndxcnx 13458   sSet csts 13459   lecple 13528  ODualcodu 14547
This theorem is referenced by:  oduleg  14551  odupos  14554  oduposb  14555  oduglb  14558  odulub  14560  posglbd  14568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-sets 13467  df-ple 13541  df-odu 14548
  Copyright terms: Public domain W3C validator