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Theorem oduleval 14487
Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d  |-  D  =  (ODual `  O )
oduval.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
oduleval  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)

Proof of Theorem oduleval
StepHypRef Expression
1 fvex 5684 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  e. 
_V
21cnvex 5348 . . . 4  |-  `' ( le `  O )  e.  _V
3 pleid 13551 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
43setsid 13437 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  `' ( le `  O )  e.  _V )  ->  `' ( le
`  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
52, 4mpan2 653 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) ) )
63str0 13434 . . . 4  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
7 fvprc 5664 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  O )  =  (/) )
87cnveqd 4990 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  `' (/) )
9 cnv0 5217 . . . . 5  |-  `' (/)  =  (/)
108, 9syl6eq 2437 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  (/) )
11 reldmsets 13420 . . . . . 6  |-  Rel  dom sSet
1211ovprc1 6050 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. )  =  (/) )
1312fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >.
) )  =  ( le `  (/) ) )
146, 10, 133eqtr4a 2447 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  `' ( le `  O
)  =  ( le
`  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
) )
155, 14pm2.61i 158 . 2  |-  `' ( le `  O )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le
`  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
16 oduval.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
1716cnveqi 4989 . 2  |-  `'  .<_  =  `' ( le `  O )
18 oduval.d . . . 4  |-  D  =  (ODual `  O )
19 eqid 2389 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
2018, 19oduval 14486 . . 3  |-  D  =  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O ) >. )
2120fveq2i 5673 . 2  |-  ( le
`  D )  =  ( le `  ( O sSet  <. ( le `  ndx ) ,  `' ( le `  O )
>. ) )
2215, 17, 213eqtr4i 2419 1  |-  `'  .<_  =  ( le `  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   (/)c0 3573   <.cop 3762   `'ccnv 4819   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   ndxcnx 13395   sSet csts 13396   lecple 13465  ODualcodu 14484
This theorem is referenced by:  oduleg  14488  odupos  14491  oduposb  14492  oduglb  14495  odulub  14497  posglbd  14505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-sets 13404  df-ple 13478  df-odu 14485
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