MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odulub Unicode version

Theorem odulub 14261
Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
odulub.l  |-  L  =  ( glb `  O
)
Assertion
Ref Expression
odulub  |-  ( O  e.  V  ->  L  =  ( lub `  D
) )

Proof of Theorem odulub
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odulub.l . 2  |-  L  =  ( glb `  O
)
2 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  c  e. 
_V
3 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
42, 3brcnv 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( c `' ( le `  O ) b  <->  b ( le `  O ) c )
54ralbii 2580 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) b  <->  A. c  e.  a  b ( le `  O ) c )
6 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  d  e. 
_V
72, 6brcnv 4880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c `' ( le `  O ) d  <->  d ( le `  O ) c )
87ralbii 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  <->  A. c  e.  a  d ( le `  O ) c )
93, 6brcnv 4880 . . . . . . . . . 10  |-  ( b `' ( le `  O ) d  <->  d ( le `  O ) b )
108, 9imbi12i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. c  e.  a  c `' ( le
`  O ) d  ->  b `' ( le `  O ) d )  <->  ( A. c  e.  a  d
( le `  O
) c  ->  d
( le `  O
) b ) )
1110ralbii 2580 . . . . . . . 8  |-  ( A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  -> 
b `' ( le
`  O ) d )  <->  A. d  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  d ( le
`  O ) c  ->  d ( le
`  O ) b ) )
125, 11anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( A. c  e.  a  c `' ( le
`  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  ->  b `' ( le `  O ) d ) )  <->  ( A. c  e.  a  b
( le `  O
) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  d
( le `  O
) c  ->  d
( le `  O
) b ) ) )
1312a1i 10 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( Base `  O
)  ->  ( ( A. c  e.  a 
c `' ( le
`  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  ->  b `' ( le `  O ) d ) )  <->  ( A. c  e.  a  b
( le `  O
) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O ) ( A. c  e.  a  d
( le `  O
) c  ->  d
( le `  O
) b ) ) ) )
1413riotabiia 6338 . . . . 5  |-  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  ->  b `' ( le `  O ) d ) ) )  =  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d ( le `  O ) c  ->  d ( le
`  O ) b ) ) )
1514mpteq2i 4119 . . . 4  |-  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  ->  b `' ( le `  O ) d ) ) ) )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d ( le `  O ) c  ->  d ( le
`  O ) b ) ) ) )
1615eqcomi 2300 . . 3  |-  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  b ( le `  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d ( le `  O ) c  ->  d ( le
`  O ) b ) ) ) )  =  ( a  e. 
~P ( Base `  O
)  |->  ( iota_ b  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  ->  b `' ( le `  O ) d ) ) ) )
17 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
18 eqid 2296 . . . 4  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
19 eqid 2296 . . . 4  |-  ( glb `  O )  =  ( glb `  O )
2017, 18, 19glbfval 14133 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  ( glb `  O )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  b ( le
`  O ) c  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  d ( le `  O ) c  ->  d ( le
`  O ) b ) ) ) ) )
21 oduglb.d . . . . 5  |-  D  =  (ODual `  O )
22 fvex 5555 . . . . 5  |-  (ODual `  O )  e.  _V
2321, 22eqeltri 2366 . . . 4  |-  D  e. 
_V
2421, 17odubas 14253 . . . . 5  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
2521, 18oduleval 14251 . . . . 5  |-  `' ( le `  O )  =  ( le `  D )
26 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( lub `  D )  =  ( lub `  D )
2724, 25, 26lubfval 14128 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  ( lub `  D )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  ->  b `' ( le `  O ) d ) ) ) ) )
2823, 27mp1i 11 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  ( lub `  D )  =  ( a  e.  ~P ( Base `  O )  |->  ( iota_ b  e.  (
Base `  O )
( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) b  /\  A. d  e.  ( Base `  O
) ( A. c  e.  a  c `' ( le `  O ) d  ->  b `' ( le `  O ) d ) ) ) ) )
2916, 20, 283eqtr4a 2354 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( glb `  O )  =  ( lub `  D
) )
301, 29syl5eq 2340 1  |-  ( O  e.  V  ->  L  =  ( lub `  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ` cfv 5271   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   lubclub 14092   glbcglb 14093  ODualcodu 14248
This theorem is referenced by:  odujoin  14262  oduclatb  14264  posglbd  14269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ple 13244  df-lub 14124  df-glb 14125  df-odu 14249
  Copyright terms: Public domain W3C validator