MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odumeet Unicode version

Theorem odumeet 14530
Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
odumeet.j  |-  .\/  =  ( join `  O )
Assertion
Ref Expression
odumeet  |-  .\/  =  ( meet `  D )

Proof of Theorem odumeet
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odumeet.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  O )
2 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
3 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
4 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( join `  O )  =  (
join `  O )
52, 3, 4joinfval 14407 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( join `  O )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( lub `  O
) `  { a ,  b } ) ) )
6 oduglb.d . . . . . . 7  |-  D  =  (ODual `  O )
7 fvex 5709 . . . . . . 7  |-  (ODual `  O )  e.  _V
86, 7eqeltri 2482 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
96, 2odubas 14523 . . . . . . 7  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
10 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
11 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( meet `  D )  =  (
meet `  D )
129, 10, 11meetfval 14414 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  ( meet `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( glb `  D
) `  { a ,  b } ) ) )
138, 12mp1i 12 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  ( meet `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( glb `  D
) `  { a ,  b } ) ) )
146, 3oduglb 14529 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
1514fveq1d 5697 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( lub `  O
) `  { a ,  b } )  =  ( ( glb `  D ) `  {
a ,  b } ) )
16153ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  _V  /\  a  e.  ( Base `  O )  /\  b  e.  ( Base `  O
) )  ->  (
( lub `  O
) `  { a ,  b } )  =  ( ( glb `  D ) `  {
a ,  b } ) )
1716mpt2eq3dva 6105 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  (
a  e.  ( Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O
)  |->  ( ( lub `  O ) `  {
a ,  b } ) )  =  ( a  e.  ( Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O
)  |->  ( ( glb `  D ) `  {
a ,  b } ) ) )
1813, 17eqtr4d 2447 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( meet `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( lub `  O
) `  { a ,  b } ) ) )
195, 18eqtr4d 2447 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ( join `  O )  =  ( meet `  D
) )
20 fvprc 5689 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
join `  O )  =  (/) )
21 fvprc 5689 . . . . . . 7  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
226, 21syl5eq 2456 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
2322fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
meet `  D )  =  ( meet `  (/) ) )
24 meet0 14527 . . . . 5  |-  ( meet `  (/) )  =  (/)
2523, 24syl6eq 2460 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
meet `  D )  =  (/) )
2620, 25eqtr4d 2447 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
join `  O )  =  ( meet `  D
) )
2719, 26pm2.61i 158 . 2  |-  ( join `  O )  =  (
meet `  D )
281, 27eqtri 2432 1  |-  .\/  =  ( meet `  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   (/)c0 3596   {cpr 3783   ` cfv 5421    e. cmpt2 6050   Basecbs 13432   lubclub 14362   glbcglb 14363   joincjn 14364   meetcmee 14365  ODualcodu 14518
This theorem is referenced by:  odulatb  14533  latdisd  14579  odudlatb  14585  dlatjmdi  14586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ple 13512  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-odu 14519
  Copyright terms: Public domain W3C validator