MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odumeet Unicode version

Theorem odumeet 14454
Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d  |-  D  =  (ODual `  O )
odumeet.j  |-  .\/  =  ( join `  O )
Assertion
Ref Expression
odumeet  |-  .\/  =  ( meet `  D )

Proof of Theorem odumeet
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odumeet.j . 2  |-  .\/  =  ( join `  O )
2 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
3 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( lub `  O )  =  ( lub `  O )
4 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( join `  O )  =  (
join `  O )
52, 3, 4joinfval 14331 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( join `  O )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( lub `  O
) `  { a ,  b } ) ) )
6 oduglb.d . . . . . . 7  |-  D  =  (ODual `  O )
7 fvex 5646 . . . . . . 7  |-  (ODual `  O )  e.  _V
86, 7eqeltri 2436 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
96, 2odubas 14447 . . . . . . 7  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  D )
10 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( glb `  D )  =  ( glb `  D )
11 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( meet `  D )  =  (
meet `  D )
129, 10, 11meetfval 14338 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  ( meet `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( glb `  D
) `  { a ,  b } ) ) )
138, 12mp1i 11 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  ( meet `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( glb `  D
) `  { a ,  b } ) ) )
146, 3oduglb 14453 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lub `  O )  =  ( glb `  D
) )
1514fveq1d 5634 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  (
( lub `  O
) `  { a ,  b } )  =  ( ( glb `  D ) `  {
a ,  b } ) )
16153ad2ant1 977 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  _V  /\  a  e.  ( Base `  O )  /\  b  e.  ( Base `  O
) )  ->  (
( lub `  O
) `  { a ,  b } )  =  ( ( glb `  D ) `  {
a ,  b } ) )
1716mpt2eq3dva 6038 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  (
a  e.  ( Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O
)  |->  ( ( lub `  O ) `  {
a ,  b } ) )  =  ( a  e.  ( Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O
)  |->  ( ( glb `  D ) `  {
a ,  b } ) ) )
1813, 17eqtr4d 2401 . . . 4  |-  ( O  e.  _V  ->  ( meet `  D )  =  ( a  e.  (
Base `  O ) ,  b  e.  ( Base `  O )  |->  ( ( lub `  O
) `  { a ,  b } ) ) )
195, 18eqtr4d 2401 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ( join `  O )  =  ( meet `  D
) )
20 fvprc 5626 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
join `  O )  =  (/) )
21 fvprc 5626 . . . . . . 7  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (ODual `  O )  =  (/) )
226, 21syl5eq 2410 . . . . . 6  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  D  =  (/) )
2322fveq2d 5636 . . . . 5  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
meet `  D )  =  ( meet `  (/) ) )
24 meet0 14451 . . . . 5  |-  ( meet `  (/) )  =  (/)
2523, 24syl6eq 2414 . . . 4  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
meet `  D )  =  (/) )
2620, 25eqtr4d 2401 . . 3  |-  ( -.  O  e.  _V  ->  (
join `  O )  =  ( meet `  D
) )
2719, 26pm2.61i 156 . 2  |-  ( join `  O )  =  (
meet `  D )
281, 27eqtri 2386 1  |-  .\/  =  ( meet `  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873   (/)c0 3543   {cpr 3730   ` cfv 5358    e. cmpt2 5983   Basecbs 13356   lubclub 14286   glbcglb 14287   joincjn 14288   meetcmee 14289  ODualcodu 14442
This theorem is referenced by:  odulatb  14457  latdisd  14503  odudlatb  14509  dlatjmdi  14510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ple 13436  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-odu 14443
  Copyright terms: Public domain W3C validator