MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odval Structured version   Unicode version

Theorem odval 15164
Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odval.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odval.3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
odval.4  |-  O  =  ( od `  G
)
odval.i  |-  I  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
Assertion
Ref Expression
odval  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, G    y,  .x.    y,  .0.
Allowed substitution hints:    I( y)    O( y)    X( y)

Proof of Theorem odval
Dummy variables  i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
y  .x.  x )  =  ( y  .x.  A ) )
21eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( y  .x.  x
)  =  .0.  <->  ( y  .x.  A )  =  .0.  ) )
32rabbidv 2940 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  x )  =  .0.  }  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
} )
4 odval.i . . . . 5  |-  I  =  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0. 
}
53, 4syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  x )  =  .0.  }  =  I )
65csbeq1d 3249 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  [_ {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  x
)  =  .0.  }  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup (
i ,  RR ,  `'  <  ) )  = 
[_ I  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup ( i ,  RR ,  `'  <  ) ) )
7 nnex 9998 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
87rabex 4346 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  ( y  .x.  A )  =  .0.  }  e.  _V
94, 8eqeltri 2505 . . . 4  |-  I  e. 
_V
10 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ i if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup (
I ,  RR ,  `'  <  ) )
11 eqeq1 2441 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  (
i  =  (/)  <->  I  =  (/) ) )
12 supeq1 7442 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  sup ( i ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) )
1311, 12ifbieq2d 3751 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup (
i ,  RR ,  `'  <  ) )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) ) )
149, 10, 13csbief 3284 . . 3  |-  [_ I  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup (
i ,  RR ,  `'  <  ) )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) )
156, 14syl6eq 2483 . 2  |-  ( x  =  A  ->  [_ {
y  e.  NN  | 
( y  .x.  x
)  =  .0.  }  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup (
i ,  RR ,  `'  <  ) )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) ) )
16 odval.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
17 odval.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
18 odval.3 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
19 odval.4 . . 3  |-  O  =  ( od `  G
)
2016, 17, 18, 19odfval 15163 . 2  |-  O  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ { y  e.  NN  |  ( y 
.x.  x )  =  .0.  }  /  i ]_ if ( i  =  (/) ,  0 ,  sup ( i ,  RR ,  `'  <  ) ) )
21 c0ex 9077 . . 3  |-  0  e.  _V
22 ltso 9148 . . . . 5  |-  <  Or  RR
23 cnvso 5403 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
2422, 23mpbi 200 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
2524supex 7460 . . 3  |-  sup (
I ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
2621, 25ifex 3789 . 2  |-  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  _V
2715, 20, 26fvmpt 5798 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  =  if ( I  =  (/) ,  0 ,  sup ( I ,  RR ,  `'  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948   [_csb 3243   (/)c0 3620   ifcif 3731    Or wor 4494   `'ccnv 4869   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112   NNcn 9992   Basecbs 13461   0gc0g 13715  .gcmg 14681   odcod 15155
This theorem is referenced by:  odlem1  15165  odlem2  15169  submod  15195  ofldchr  24236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-nn 9993  df-od 15159
  Copyright terms: Public domain W3C validator