MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odval2 Structured version   Unicode version

Theorem odval2 15191
Description: A non-conditional definition of the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odval2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  ( iota_ x  e.  NN0 A. y  e.  NN0  ( x  ||  y 
<->  ( y  .x.  A
)  =  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y,  .0.    x, y, A    x, O, y    y,  .x.    x, G, y   
x, X, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x)    .0. ( x)

Proof of Theorem odval2
StepHypRef Expression
1 odcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odcl.2 . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 15176 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
43adantl 454 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  e.  NN0 )
5 odid.3 . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
6 odid.4 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
71, 2, 5, 6odeq 15190 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( x  =  ( O `  A )  <->  A. y  e.  NN0  ( x  ||  y  <->  ( y  .x.  A )  =  .0.  ) ) )
873expa 1154 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( x  =  ( O `  A
)  <->  A. y  e.  NN0  ( x  ||  y  <->  ( y  .x.  A )  =  .0.  ) ) )
983adant2 977 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( x  =  ( O `  A )  <->  A. y  e.  NN0  ( x  ||  y  <->  ( y  .x.  A )  =  .0.  ) ) )
109bicomd 194 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( A. y  e. 
NN0  ( x  ||  y 
<->  ( y  .x.  A
)  =  .0.  )  <->  x  =  ( O `  A ) ) )
1110riota5OLD 6578 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( O `  A )  e.  NN0 )  ->  ( iota_ x  e. 
NN0 A. y  e.  NN0  ( x  ||  y  <->  ( y  .x.  A )  =  .0.  ) )  =  ( O `  A ) )
124, 11mpdan 651 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( iota_ x  e.  NN0 A. y  e.  NN0  (
x  ||  y  <->  ( y  .x.  A )  =  .0.  ) )  =  ( O `  A ) )
1312eqcomd 2443 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  ( iota_ x  e.  NN0 A. y  e.  NN0  ( x  ||  y 
<->  ( y  .x.  A
)  =  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   iota_crio 6544   NN0cn0 10223    || cdivides 12854   Basecbs 13471   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687  .gcmg 14691   odcod 15165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-od 15169
  Copyright terms: Public domain W3C validator