MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzphi Unicode version

Theorem odzphi 12877
Description: The order of any group element is a divisor of the Euler 
phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
odzphi  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( od Z `  N ) `  A
)  ||  ( phi `  N ) )

Proof of Theorem odzphi
StepHypRef Expression
1 eulerth 12867 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ ( phi `  N ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
) )
2 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  NN )
3 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
42phicld 12856 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( phi `  N )  e.  NN )
54nnnn0d 10034 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( phi `  N )  e. 
NN0 )
6 zexpcl 11134 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( phi `  N )  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( phi `  N ) )  e.  ZZ )
73, 5, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A ^ ( phi `  N ) )  e.  ZZ )
8 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
98a1i 10 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  1  e.  ZZ )
10 moddvds 12554 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A ^ ( phi `  N ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
( phi `  N
) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N )  <->  N  ||  (
( A ^ ( phi `  N ) )  -  1 ) ) )
112, 7, 9, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( ( A ^
( phi `  N
) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N )  <->  N  ||  (
( A ^ ( phi `  N ) )  -  1 ) ) )
121, 11mpbid 201 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  ||  ( ( A ^
( phi `  N
) )  -  1 ) )
13 odzdvds 12876 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  ( phi `  N )  e.  NN0 )  -> 
( N  ||  (
( A ^ ( phi `  N ) )  -  1 )  <->  ( ( od Z `  N ) `
 A )  ||  ( phi `  N ) ) )
145, 13mpdan 649 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( N  ||  ( ( A ^ ( phi `  N ) )  - 
1 )  <->  ( ( od Z `  N ) `
 A )  ||  ( phi `  N ) ) )
1512, 14mpbid 201 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( od Z `  N ) `  A
)  ||  ( phi `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    mod cmo 10989   ^cexp 11120    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   od
Zcodz 12847   phicphi 12848
This theorem is referenced by:  pockthlem  12968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-odz 12849  df-phi 12850
  Copyright terms: Public domain W3C validator