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Theorem oeeu 6601
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeeu  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, B, x, y, z

Proof of Theorem oeeu
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  =  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }
21oeeulem 6599 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  On  /\  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ) )
32simp1d 967 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  On )
4 elex 2796 . . . 4  |-  ( U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  e.  On  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  e.  _V )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  _V )
6 fvex 5539 . . . 4  |-  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  e.  _V
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  e.  _V )
8 fvex 5539 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  e.  _V
98a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  e.  _V )
10 eqid 2283 . . . 4  |-  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) )  =  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) )
11 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  =  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )
12 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  =  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )
131, 10, 11, 12oeeui 6600 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B )  <->  ( x  =  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  /\  y  =  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  /\  z  =  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) ) ) ) )
145, 7, 9, 13euotd 4267 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) ) )
15 df-3an 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) ) )
16 ancom 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) ) )
1715, 16bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x
) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) ) )
1817anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B )  <-> 
( ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
1918anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) ) )
20 an12 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( (
z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
21 anass 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2220, 21bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2319, 22bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2423exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. z ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) ) )
25 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) )  <->  E. z ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
26 r19.42v 2694 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) )  <-> 
( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
2724, 25, 263bitr2i 264 . . . . 5  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
28272exbii 1570 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. x E. y
( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
29 r2ex 2581 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x
) ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
3028, 29bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  ( A 
\  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
3130eubii 2152 . 2  |-  ( E! w E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
3214, 31sylib 188 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   <.cop 3643   <.cotp 3644   U.cuni 3827   |^|cint 3862   Oncon0 4392   suc csuc 4394   iotacio 5217   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   1oc1o 6472   2oc2o 6473    +o coa 6476    .o comu 6477    ^o coe 6478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485
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