MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeeu Unicode version

Theorem oeeu 6617
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeeu  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, B, x, y, z

Proof of Theorem oeeu
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  =  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }
21oeeulem 6615 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  On  /\  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ) )
32simp1d 967 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  On )
4 elex 2809 . . . 4  |-  ( U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  e.  On  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  e.  _V )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  _V )
6 fvex 5555 . . . 4  |-  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  e.  _V
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  e.  _V )
8 fvex 5555 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  e.  _V
98a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  e.  _V )
10 eqid 2296 . . . 4  |-  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) )  =  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) )
11 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  =  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )
12 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  =  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )
131, 10, 11, 12oeeui 6616 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B )  <->  ( x  =  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  /\  y  =  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  /\  z  =  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) ) ) ) )
145, 7, 9, 13euotd 4283 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) ) )
15 df-3an 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) ) )
16 ancom 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) ) )
1715, 16bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x
) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) ) )
1817anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B )  <-> 
( ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
1918anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) ) )
20 an12 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( (
z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
21 anass 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2220, 21bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2319, 22bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2423exbii 1572 . . . . . 6  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. z ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) ) )
25 df-rex 2562 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) )  <->  E. z ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
26 r19.42v 2707 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) )  <-> 
( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
2724, 25, 263bitr2i 264 . . . . 5  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
28272exbii 1573 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. x E. y
( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
29 r2ex 2594 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x
) ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
3028, 29bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  ( A 
\  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
3130eubii 2165 . 2  |-  ( E! w E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
3214, 31sylib 188 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   <.cop 3656   <.cotp 3657   U.cuni 3843   |^|cint 3878   Oncon0 4408   suc csuc 4410   iotacio 5233   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   1oc1o 6488   2oc2o 6489    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501
  Copyright terms: Public domain W3C validator