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Theorem oeeu 6846
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeeu  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, B, x, y, z

Proof of Theorem oeeu
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . . 6  |-  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  =  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }
21oeeulem 6844 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  On  /\  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ) )
32simp1d 969 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  On )
4 elex 2964 . . . 4  |-  ( U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  e.  On  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) }  e.  _V )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  e.  _V )
6 fvex 5742 . . . 4  |-  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  e.  _V )
8 fvex 5742 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  e.  _V )
10 eqid 2436 . . . 4  |-  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) )  =  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) )
11 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  =  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )
12 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } ) ( d  =  <. b ,  c >.  /\  (
( ( A  ^o  U.
|^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } )  .o  b )  +o  c )  =  B ) ) )  =  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )
131, 10, 11, 12oeeui 6845 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B )  <->  ( x  =  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) }  /\  y  =  ( 1st `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) )  /\  z  =  ( 2nd `  ( iota d E. b  e.  On  E. c  e.  ( A  ^o  U. |^|
{ a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a ) } ) ( d  = 
<. b ,  c >.  /\  ( ( ( A  ^o  U. |^| { a  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  a
) } )  .o  b )  +o  c
)  =  B ) ) ) ) ) )
145, 7, 9, 13euotd 4457 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) ) )
15 df-3an 938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) ) )
16 ancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) ) )
1715, 16bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x
) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) ) )
1817anbi1i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B )  <-> 
( ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
1918anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) ) )
20 an12 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( (
z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
21 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2219, 20, 213bitri 263 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x
)  .o  y )  +o  z )  =  B ) )  <->  ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
2322exbii 1592 . . . . . 6  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. z ( z  e.  ( A  ^o  x )  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) ) )
24 df-rex 2711 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) )  <->  E. z ( z  e.  ( A  ^o  x
)  /\  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) ) ) )
25 r19.42v 2862 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o ) )  /\  ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) )  <-> 
( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
2623, 24, 253bitr2i 265 . . . . 5  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
27262exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. x E. y
( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
28 r2ex 2743 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x
) ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  x )  .o  y
)  +o  z )  =  B ) ) )
2927, 28bitr4i 244 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  ( A 
\  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
3029eubii 2290 . 2  |-  ( E! w E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y ,  z >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  ( A 
\  1o )  /\  z  e.  ( A  ^o  x ) )  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  <->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
3114, 30sylib 189 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E! w E. x  e.  On  E. y  e.  ( A  \  1o ) E. z  e.  ( A  ^o  x ) ( w  =  <. x ,  y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  x )  .o  y )  +o  z )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2281   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   <.cop 3817   <.cotp 3818   U.cuni 4015   |^|cint 4050   Oncon0 4581   suc csuc 4583   iotacio 5416   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   1oc1o 6717   2oc2o 6718    +o coa 6721    .o comu 6722    ^o coe 6723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-oexp 6730
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