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Theorem oeeui 6848
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (This version of oeeu 6849 gives an explicit expression for the unique solution of the equation, in terms of the solution  P to omeu 6831.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oeeu.1  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
oeeu.2  |-  P  =  ( iota w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
oeeu.3  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
oeeu.4  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
Assertion
Ref Expression
oeeui  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, B, x, y, z    w, X, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)    D( x, y, z, w)    P( x, y, z, w)    E( x, y, z, w)    X( x)    Y( x, y, z, w)    Z( x, y, z, w)

Proof of Theorem oeeui
Dummy variables  a 
d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
21adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  A  e.  On )
32ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  A  e.  On )
4 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  e.  On )
5 oecl 6784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
63, 4, 5syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  On )
7 om1 6788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  1o )  =  ( A  ^o  C ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  1o )  =  ( A  ^o  C ) )
9 df1o2 6739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =  { (/) }
10 dif1o 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  <->  ( D  e.  A  /\  D  =/=  (/) ) )
1110simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  ->  D  =/=  (/) )
1211ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  =/=  (/) )
13 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  ->  D  e.  A )
1413ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  e.  A )
15 onelon 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  D  e.  A )  ->  D  e.  On )
163, 14, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  e.  On )
17 on0eln0 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  On  ->  ( (/) 
e.  D  <->  D  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( (/)  e.  D  <->  D  =/=  (/) ) )
1912, 18mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  D )
2019snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  { (/) }  C_  D
)
219, 20syl5eqss 3394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  1o  C_  D )
22 1on 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1o  e.  On
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  1o  e.  On )
24 omwordi 6817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  D  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  ->  ( 1o  C_  D  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  1o ) 
C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) ) )
2523, 16, 6, 24syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( 1o  C_  D  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  1o )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) ) )
2621, 25mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  1o )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) )
278, 26eqsstr3d 3385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) )
28 omcl 6783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  D  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
296, 16, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
30 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  E  e.  ( A  ^o  C ) )
31 onelon 4609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  ->  E  e.  On )
326, 30, 31syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  E  e.  On )
33 oaword1 6798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On  /\  E  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
3429, 32, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
35 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )
3634, 35sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  B )
3727, 36sstrd 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  B )
38 oeeu.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
3938oeeulem 6847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
4039simp3d 972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
4140ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
4239simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  On )
4342ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  e.  On )
44 suceloni 4796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  suc  X  e.  On )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  X  e.  On )
46 oecl 6784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  X )  e.  On )
473, 45, 46syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  X )  e.  On )
48 ontr2 4631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  ( A  ^o  suc  X
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  C ) 
C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )  ->  ( A  ^o  C )  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
496, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X
) )  ->  ( A  ^o  C )  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
5037, 41, 49mp2and 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
51 simplll 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
52 oeord 6834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  On  /\  suc  X  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( C  e.  suc  X  <-> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
534, 45, 51, 52syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  e.  suc  X  <-> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
5450, 53mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  e.  suc  X )
55 onsssuc 4672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( C  C_  X  <->  C  e.  suc  X ) )
564, 43, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  C_  X  <->  C  e.  suc  X ) )
5754, 56mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  C_  X )
5839simp2d 971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
5958ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
60 eloni 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
613, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  Ord  A )
62 ordsucss 4801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( D  e.  A  ->  suc  D  C_  A ) )
6361, 14, 62sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  D  C_  A )
64 suceloni 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  On  ->  suc  D  e.  On )
6516, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  D  e.  On )
66 dif20el 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
6751, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  A )
68 oen0 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  C ) )
693, 4, 67, 68syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )
70 omword 6816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( suc  D  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  C ) )  ->  ( suc  D 
C_  A  <->  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A
) ) )
7165, 3, 6, 69, 70syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( suc  D  C_  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  suc  D
)  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
7263, 71mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  suc  D )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
73 oaord 6793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On  /\  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  On )  -> 
( E  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) ) )
7432, 6, 29, 73syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( E  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) ) )
7530, 74mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
7635, 75eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
77 odi 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  D  e.  On  /\  1o  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  ( ( A  ^o  C )  .o  1o ) ) )
786, 16, 23, 77syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  ( ( A  ^o  C )  .o  1o ) ) )
79 oa1suc 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  On  ->  ( D  +o  1o )  =  suc  D )
8016, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( D  +o  1o )  =  suc  D )
8180oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D ) )
828oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  (
( A  ^o  C
)  .o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
8378, 81, 823eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  suc  D )  =  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
8476, 83eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D ) )
8572, 84sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
86 oesuc 6774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
873, 4, 86syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
8885, 87eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  C ) )
89 oecl 6784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
903, 43, 89syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
91 suceloni 4796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  On  ->  suc  C  e.  On )
9291ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  C  e.  On )
93 oecl 6784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  On )
943, 92, 93syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  On )
95 ontr2 4631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  suc  C
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  X ) 
C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  C ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9690, 94, 95syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  X )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  C
) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9759, 88, 96mp2and 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) )
98 oeord 6834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  On  /\  suc  C  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( X  e.  suc  C  <-> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9943, 92, 51, 98syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( X  e.  suc  C  <-> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
10097, 99mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  e.  suc  C )
101 onsssuc 4672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( X  C_  C  <->  X  e.  suc  C ) )
10243, 4, 101syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( X  C_  C  <->  X  e.  suc  C ) )
103100, 102mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  C_  C )
10457, 103eqssd 3367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  =  X )
105104, 16jca 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  =  X  /\  D  e.  On ) )
106 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  C  =  X )
10742ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  X  e.  On )
108106, 107eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  C  e.  On )
1092ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  A  e.  On )
110109, 108, 5syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  On )
111 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  On )
112110, 111, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
113 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  E  e.  ( A  ^o  C ) )
114110, 113, 31syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  E  e.  On )
115112, 114, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
116 simplrr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )
117115, 116sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  B )
11840ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
119 suceq 4649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  X  ->  suc  C  =  suc  X )
120119ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  suc  C  =  suc  X
)
121120oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( A  ^o  suc  X ) )
122109, 108, 86syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
123121, 122eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  X )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
124118, 123eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
125 omcl 6783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )
126110, 109, 125syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )
127 ontr2 4631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On  /\  ( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )  ->  ( ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D ) 
C_  B  /\  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A
) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
128112, 126, 127syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  C_  B  /\  B  e.  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) ) )
129117, 124, 128mp2and 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
13066adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (/) 
e.  A )
131130ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  (/) 
e.  A )
132109, 108, 131, 68syl21anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )
133 omord2 6813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )  -> 
( D  e.  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
134111, 109, 110, 132, 133syl31anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  e.  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
135129, 134mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  A )
136106oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  =  ( A  ^o  X ) )
13758ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
138136, 137eqsstrd 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  B )
139 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  e.  On )
140139adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  On )
141140ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  On )
142 ontri1 4618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
143110, 141, 142syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
144138, 143mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) )
145 om0 6764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  =  (/) )
146110, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  =  (/) )
147146oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  =  ( (/)  +o  E ) )
148 oa0r 6785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  On  ->  ( (/) 
+o  E )  =  E )
149114, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( (/)  +o  E )  =  E )
150147, 149eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  =  E )
151150, 113eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  e.  ( A  ^o  C ) )
152 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) ) )
153152oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
) )
154153eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  e.  ( A  ^o  C )  <->  ( (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  +o  E )  e.  ( A  ^o  C ) ) )
155151, 154syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( A  ^o  C ) ) )
156116eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
157155, 156sylibd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  =  (/)  ->  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
158157necon3bd 2640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( -.  B  e.  ( A  ^o  C
)  ->  D  =/=  (/) ) )
159144, 158mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  =/=  (/) )
160135, 159, 10sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  ( A  \  1o ) )
161108, 160jca 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o ) ) )
162105, 161impbida 807 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  ->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  <->  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) ) )
163162ex 425 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( E  e.  ( A  ^o  C
)  /\  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  ->  (
( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o ) )  <-> 
( C  =  X  /\  D  e.  On ) ) ) )
164163pm5.32rd 623 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( ( C  =  X  /\  D  e.  On )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) )
165 anass 632 . . . 4  |-  ( ( ( C  =  X  /\  D  e.  On )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C
)  /\  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) )
166164, 165syl6bb 254 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) ) )
167 3anass 941 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
168 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  X  ->  ( A  ^o  C )  =  ( A  ^o  X
) )
169168eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( C  =  X  ->  ( E  e.  ( A  ^o  C )  <->  E  e.  ( A  ^o  X ) ) )
170168oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  X  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  D ) )
171170oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  X  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E ) )
172171eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( C  =  X  ->  (
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )
173169, 1723anbi23d 1258 . . . . . 6  |-  ( C  =  X  ->  (
( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X )  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E
)  =  B ) ) )
174167, 173syl5bbr 252 . . . . 5  |-  ( C  =  X  ->  (
( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) ) )
1752, 42, 89syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
176 oen0 6832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  X ) )
1772, 42, 130, 176syl21anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  X ) )
178 ne0i 3636 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( A  ^o  X
)  ->  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )
179177, 178syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  =/=  (/) )
180 omeu 6831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )  ->  E! a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( a  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B ) )
181 oeeu.2 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( iota w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
182 opeq1 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  d  ->  <. y ,  z >.  =  <. d ,  z >. )
183182eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  d  ->  (
w  =  <. y ,  z >.  <->  w  =  <. d ,  z >.
) )
184 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  d  ->  (
( A  ^o  X
)  .o  y )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  d ) )
185184oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z ) )
186185eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  d )  +o  z )  =  B ) )
187183, 186anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  d  ->  (
( w  =  <. y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  ( w  =  <. d ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z )  =  B ) ) )
188 opeq2 3987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  e  ->  <. d ,  z >.  =  <. d ,  e >. )
189188eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  e  ->  (
w  =  <. d ,  z >.  <->  w  =  <. d ,  e >.
) )
190 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  e  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  z )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e ) )
191190eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  e  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  d )  +o  e )  =  B ) )
192189, 191anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  e  ->  (
( w  =  <. d ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  z )  =  B )  <->  ( w  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) ) )
193187, 192cbvrex2v 2943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B ) )
194 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  a  ->  (
w  =  <. d ,  e >.  <->  a  =  <. d ,  e >.
) )
195194anbi1d 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  a  ->  (
( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B )  <->  ( a  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) ) )
1961952rexbidv 2750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  a  ->  ( E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) ) )
197193, 196syl5bb 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  a  ->  ( E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) ) )
198197cbviotav 5427 . . . . . . . . 9  |-  ( iota
w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  =  ( iota a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) )
199181, 198eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( iota a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( a  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) )
200 oeeu.3 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
201 oeeu.4 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
202 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( A  ^o  X
)  .o  d )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  D ) )
203202oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  e ) )
204203eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  e )  =  B ) )
205 oveq2 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  D
)  +o  e )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E ) )
206205eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  e
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )
207199, 200, 201, 204, 206opiota 6538 . . . . . . 7  |-  ( E! a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B )  ->  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
208180, 207syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )  ->  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X )  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
209175, 140, 179, 208syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
210174, 209sylan9bbr 683 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  C  =  X )  ->  (
( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
211210pm5.32da 624 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) ) )
212166, 211bitrd 246 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) ) )
213 df-3an 939 . . . 4  |-  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  <->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) ) )
214213anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )
215 anass 632 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
216214, 215bitri 242 . 2  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
217 3anass 941 . 2  |-  ( ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z
) ) )
218212, 216, 2173bitr4g 281 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2283    =/= wne 2601   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   |^|cint 4052   Ord word 4583   Oncon0 4584   suc csuc 4586   iotacio 5419   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351   1oc1o 6720   2oc2o 6721    +o coa 6724    .o comu 6725    ^o coe 6726
This theorem is referenced by:  oeeu  6849  cantnflem3  7650  cantnflem4  7651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733
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