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Theorem oeeulem 6615
Description: Lemma for oeeu 6617. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
oeeu.1  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
Assertion
Ref Expression
oeeulem  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem oeeulem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oeeu.1 . . 3  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
2 eldifi 3311 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  e.  On )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  On )
4 suceloni 4620 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  suc  B  e.  On )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  B  e.  On )
6 oeworde 6607 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  suc  B  e.  On )  ->  suc  B  C_  ( A  ^o  suc  B ) )
75, 6syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  B  C_  ( A  ^o  suc  B ) )
8 sucidg 4486 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  e.  suc  B )
93, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  suc  B )
107, 9sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  B ) )
11 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  B ) )
1211eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( B  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  suc  B ) ) )
1312rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( suc  B  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  B ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x ) )
145, 10, 13syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x ) )
15 onintrab2 4609 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x
)  <->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
1614, 15sylib 188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On )
17 onuni 4600 . . . 4  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On  ->  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
1816, 17syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
191, 18syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  On )
20 sucidg 4486 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  On  ->  X  e.  suc  X )
2119, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  suc  X )
22 dif1o 6515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  <->  ( B  e.  On  /\  B  =/=  (/) ) )
2322simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  =/=  (/) )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  =/=  (/) )
25 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  C_  On
26 rabn0 3487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x
) )
2714, 26sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =/=  (/) )
28 onint 4602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } 
C_  On  /\  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
2925, 27, 28sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
30 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/) 
->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  (/)  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
3129, 30syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  -> 
(/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) )
32 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3332eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  e.  ( A  ^o  x )  <->  B  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3433elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( (/)  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  B  e.  ( A  ^o  (/) ) )
36 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  A  e.  On )
38 oe0 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  (/) )  =  1o )
4039eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  e.  ( A  ^o  (/) )  <->  B  e.  1o ) )
41 el1o 6514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  1o  <->  B  =  (/) )
4240, 41syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  e.  ( A  ^o  (/) )  <->  B  =  (/) ) )
4335, 42syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  =  (/) ) )
4431, 43syld 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
4544necon3ad 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  =/=  (/)  ->  -.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/) ) )
4624, 45mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/) )
47 limuni 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
4847, 1syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  X )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  X )
5029adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
5149, 50eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
52 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  X
) )
5352eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  ( B  e.  ( A  ^o  y )  <->  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
54 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
5554eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  ( A  ^o  x )  <->  B  e.  ( A  ^o  y
) ) )
5655cbvrabv 2800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  {
y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y ) }
5753, 56elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  <->  ( X  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  X
) ) )
5857simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  e.  ( A  ^o  X
) )
5951, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  B  e.  ( A  ^o  X ) )
6036ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  A  e.  On )
61 limeq 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  X  ->  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  Lim  X ) )
6248, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  Lim  X ) )
6362ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  Lim  X )
6419, 63anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( X  e.  On  /\  Lim  X
) )
65 dif20el 6520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
6665ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  (/)  e.  A )
67 oelim 6549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( X  e.  On  /\ 
Lim  X ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  X )  =  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
6860, 64, 66, 67syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( A  ^o  X )  =  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
6959, 68eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  B  e.  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
70 eliun 3925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y )  <->  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y
) )
7169, 70sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y ) )
7219adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  e.  On )
73 onss 4598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  X  C_  On )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  C_  On )
7574sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  On )
7649eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( y  e. 
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
y  e.  X ) )
7776biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
7855onnminsb 4611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  e.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  y ) ) )
7975, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  y
) )
8079nrexdv 2659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  -.  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y
) )
8171, 80pm2.65da 559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
82 ioran 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )  <->  ( -.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/)  /\  -.  Lim  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
8346, 81, 82sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) )
84 eloni 4418 . . . . . . . . . 10  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
85 unizlim 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) ) )
8616, 84, 853syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) ) )
8783, 86mtbird 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
88 orduniorsuc 4637 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  \/  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
8916, 84, 883syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  \/  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
9089ord 366 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
9187, 90mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
92 suceq 4473 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  suc  X  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
931, 92ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  suc  X  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
9491, 93syl6reqr 2347 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  X  =  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
9521, 94eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
9656inteqi 3882 . . . . 5  |-  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y ) }
9795, 96syl6eleq 2386 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y
) } )
9853onnminsb 4611 . . . 4  |-  ( X  e.  On  ->  ( X  e.  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y
) }  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9919, 97, 98sylc 56 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) )
100 oecl 6552 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
10137, 19, 100syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
102 ontri1 4442 . . . 4  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
103101, 3, 102syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( A  ^o  X )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10499, 103mpbird 223 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
10594, 29eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
106 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  X  -> 
( A  ^o  y
)  =  ( A  ^o  suc  X ) )
107106eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  X  -> 
( B  e.  ( A  ^o  y )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
108107, 56elrab2 2938 . . . 4  |-  ( suc 
X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  <->  ( suc  X  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
109108simprbi 450 . . 3  |-  ( suc 
X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
110105, 109syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
11119, 104, 1103jca 1132 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   |^|cint 3878   U_ciun 3921   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ^o coe 6494
This theorem is referenced by:  oeeui  6616  oeeu  6617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501
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