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Theorem oeeulem 6599
Description: Lemma for oeeu 6601. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
oeeu.1  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
Assertion
Ref Expression
oeeulem  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem oeeulem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oeeu.1 . . 3  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
2 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  e.  On )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  On )
4 suceloni 4604 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  suc  B  e.  On )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  B  e.  On )
6 oeworde 6591 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  suc  B  e.  On )  ->  suc  B  C_  ( A  ^o  suc  B ) )
75, 6syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  B  C_  ( A  ^o  suc  B ) )
8 sucidg 4470 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  e.  suc  B )
93, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  suc  B )
107, 9sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  B ) )
11 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  B ) )
1211eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( B  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  suc  B ) ) )
1312rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( suc  B  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  B ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x ) )
145, 10, 13syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x ) )
15 onintrab2 4593 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x
)  <->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
1614, 15sylib 188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On )
17 onuni 4584 . . . 4  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On  ->  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
1816, 17syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  On )
191, 18syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  On )
20 sucidg 4470 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  On  ->  X  e.  suc  X )
2119, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  suc  X )
22 dif1o 6499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  <->  ( B  e.  On  /\  B  =/=  (/) ) )
2322simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  =/=  (/) )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  =/=  (/) )
25 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  C_  On
26 rabn0 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  On  B  e.  ( A  ^o  x
) )
2714, 26sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =/=  (/) )
28 onint 4586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } 
C_  On  /\  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
2925, 27, 28sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
30 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/) 
->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  (/)  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
3129, 30syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  -> 
(/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) )
32 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3332eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  e.  ( A  ^o  x )  <->  B  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3433elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( (/)  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  B  e.  ( A  ^o  (/) ) )
36 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  A  e.  On )
38 oe0 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  (/) )  =  1o )
4039eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  e.  ( A  ^o  (/) )  <->  B  e.  1o ) )
41 el1o 6498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  1o  <->  B  =  (/) )
4240, 41syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  e.  ( A  ^o  (/) )  <->  B  =  (/) ) )
4335, 42syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( (/)  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  =  (/) ) )
4431, 43syld 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
4544necon3ad 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( B  =/=  (/)  ->  -.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/) ) )
4624, 45mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/) )
47 limuni 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
4847, 1syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  X )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  X )
5029adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
5149, 50eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  e.  {
x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
52 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  X
) )
5352eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  ( B  e.  ( A  ^o  y )  <->  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
54 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
5554eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  ( A  ^o  x )  <->  B  e.  ( A  ^o  y
) ) )
5655cbvrabv 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  {
y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y ) }
5753, 56elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  <->  ( X  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  X
) ) )
5857simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  e.  ( A  ^o  X
) )
5951, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  B  e.  ( A  ^o  X ) )
6036ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  A  e.  On )
61 limeq 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  X  ->  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  Lim  X ) )
6248, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <->  Lim  X ) )
6362ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  Lim  X )
6419, 63anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( X  e.  On  /\  Lim  X
) )
65 dif20el 6504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
6665ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  (/)  e.  A )
67 oelim 6533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( X  e.  On  /\ 
Lim  X ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  X )  =  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
6860, 64, 66, 67syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( A  ^o  X )  =  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
6959, 68eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  B  e.  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y ) )
70 eliun 3909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  U_ y  e.  X  ( A  ^o  y )  <->  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y
) )
7169, 70sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y ) )
7219adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  e.  On )
73 onss 4582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  X  C_  On )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  X  C_  On )
7574sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  On )
7649eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  ( y  e. 
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
y  e.  X ) )
7776biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
7855onnminsb 4595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  e.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  y ) ) )
7975, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  /\  y  e.  X
)  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  y
) )
8079nrexdv 2646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )  ->  -.  E. y  e.  X  B  e.  ( A  ^o  y
) )
8171, 80pm2.65da 559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
82 ioran 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )  <->  ( -.  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  (/)  /\  -.  Lim  |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
8346, 81, 82sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) )
84 eloni 4402 . . . . . . . . . 10  |-  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
85 unizlim 4509 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) ) )
8616, 84, 853syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  <-> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  (/)  \/ 
Lim  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } ) ) )
8783, 86mtbird 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
88 orduniorsuc 4621 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  ( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  \/  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
8916, 84, 883syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  \/  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
9089ord 366 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( -.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  U. |^|
{ x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  suc  U.
|^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } ) )
9187, 90mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) }  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
92 suceq 4457 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  suc  X  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x ) } )
931, 92ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  suc  X  =  suc  U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
9491, 93syl6reqr 2334 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  X  =  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
9521, 94eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
9656inteqi 3866 . . . . 5  |-  |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  =  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y ) }
9795, 96syl6eleq 2373 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y
) } )
9853onnminsb 4595 . . . 4  |-  ( X  e.  On  ->  ( X  e.  |^| { y  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  y
) }  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
9919, 97, 98sylc 56 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) )
100 oecl 6536 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
10137, 19, 100syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
102 ontri1 4426 . . . 4  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  X )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
103101, 3, 102syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( A  ^o  X )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  X ) ) )
10499, 103mpbird 223 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
10594, 29eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  suc  X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) } )
106 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  X  -> 
( A  ^o  y
)  =  ( A  ^o  suc  X ) )
107106eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  X  -> 
( B  e.  ( A  ^o  y )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
108107, 56elrab2 2925 . . . 4  |-  ( suc 
X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  <->  ( suc  X  e.  On  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
109108simprbi 450 . . 3  |-  ( suc 
X  e.  { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
110105, 109syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
11119, 104, 1103jca 1132 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   |^|cint 3862   U_ciun 3905   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ^o coe 6478
This theorem is referenced by:  oeeui  6600  oeeu  6601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485
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