MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oef1o Structured version   Unicode version

Theorem oef1o 7655
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption 
( F `  (/) )  =  (/) can be discharged using fveqf1o 6029.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oef1o.f  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
oef1o.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
oef1o.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
oef1o.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oef1o.c  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
oef1o.d  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
oef1o.z  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
oef1o.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )
oef1o.h  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
Assertion
Ref Expression
oef1o  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    x, F, y    x, G, y
Allowed substitution hints:    H( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem oef1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  dom  ( C CNF  D )  =  dom  ( C CNF  D )
2 oef1o.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
3 oef1o.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
41, 2, 3cantnff1o 7652 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
5 df1o2 6736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  =  { (/) }
65difeq2i 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _V 
\  1o )  =  ( _V  \  { (/)
} )
76imaeq2i 5201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )
87eleq1i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin )
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  ^m  B )  ->  (
( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin )
)
109rabbiia 2946 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
11 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }
12 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  ( F `  (/) )
13 oef1o.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
14 f1ocnv 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
16 oef1o.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
17 ssv 3368 . . . . . . . . 9  |-  On  C_  _V
18 oef1o.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
1917, 18sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
20 oef1o.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
2120eldifad 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2217, 21sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2317, 3sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
2417, 2sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
25 ondif1 6745 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  <->  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )
2625simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  A
)
2720, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
2810, 11, 12, 15, 16, 19, 22, 23, 24, 27mapfien 7653 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
29 oef1o.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )
30 f1oeq1 5665 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  ( y  e. 
{ x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )  -> 
( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  <-> 
( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  <-> 
( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
3228, 31sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
33 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin }
3433, 2, 3cantnfdm 7619 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
35 oef1o.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
3635sneqd 3827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { ( F `  (/) ) }  =  { (/)
} )
3736, 5syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { ( F `  (/) ) }  =  1o )
3837difeq2d 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
( F `  (/) ) } )  =  ( _V 
\  1o ) )
3938imaeq2d 5203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  =  ( `' x " ( _V 
\  1o ) ) )
4039eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) )
4140rabbidv 2948 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
4234, 41eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }
)
43 f1oeq3 5667 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( C CNF  D )  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <-> 
K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <-> 
K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
4532, 44mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
46 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin }
4746, 21, 18cantnfdm 7619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( A CNF  B
)  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
48 f1oeq2 5666 . . . . . 6  |-  ( dom  ( A CNF  B )  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
)  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
4947, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
5045, 49mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
51 f1oco 5698 . . . 4  |-  ( ( ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D ) )  ->  ( ( C CNF  D )  o.  K
) : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
524, 50, 51syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
53 eqid 2436 . . . . 5  |-  dom  ( A CNF  B )  =  dom  ( A CNF  B )
5453, 21, 18cantnff1o 7652 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
55 f1ocnv 5687 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF  B
)
-1-1-onto-> ( A  ^o  B )  ->  `' ( A CNF 
B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
5654, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( A CNF  B
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
57 f1oco 5698 . . 3  |-  ( ( ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  `' ( A CNF  B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )  ->  ( (
( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B
) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
5852, 56, 57syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
59 oef1o.h . . 3  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
60 f1oeq1 5665 . . 3  |-  ( H  =  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
)  ->  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) ) )
6159, 60ax-mp 8 . 2  |-  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
6258, 61sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   (/)c0 3628   {csn 3814    e. cmpt 4266   Oncon0 4581   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   "cima 4881    o. ccom 4882   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1oc1o 6717    ^o coe 6723    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   CNF ccnf 7616
This theorem is referenced by:  infxpenc  7899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-oexp 6730  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-cnf 7617
  Copyright terms: Public domain W3C validator