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Theorem oef1o 7401
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption 
( F `  (/) )  =  (/) can be discharged using fveqf1o 5806.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oef1o.f  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
oef1o.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
oef1o.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
oef1o.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oef1o.c  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
oef1o.d  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
oef1o.z  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
oef1o.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )
oef1o.h  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
Assertion
Ref Expression
oef1o  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    x, F, y    x, G, y
Allowed substitution hints:    H( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem oef1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  dom  ( C CNF  D )  =  dom  ( C CNF  D )
2 oef1o.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
3 oef1o.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
41, 2, 3cantnff1o 7398 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
5 df1o2 6491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  =  { (/) }
65difeq2i 3291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _V 
\  1o )  =  ( _V  \  { (/)
} )
76imaeq2i 5010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  =  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )
87eleq1i 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V  \  { (/) } ) )  e.  Fin )
98a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  ^m  B )  ->  (
( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin )
)
109rabbiia 2778 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
11 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }
12 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  ( F `  (/) )
13 oef1o.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
14 f1ocnv 5485 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
1513, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
16 oef1o.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> C )
17 ssv 3198 . . . . . . . . 9  |-  On  C_  _V
18 oef1o.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
1917, 18sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
20 oef1o.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( On 
\  1o ) )
21 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  ->  A  e.  On )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2317, 22sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2417, 3sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
2517, 2sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
26 ondif1 6500 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  <->  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )
2726simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  A
)
2820, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
2910, 11, 12, 15, 16, 19, 23, 24, 25, 28mapfien 7399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
30 oef1o.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )
31 f1oeq1 5463 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  ( y  e. 
{ x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) )  -> 
( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  <-> 
( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  <-> 
( y  e.  {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' G
) ) ) : { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
3329, 32sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } )
34 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin }
3534, 2, 3cantnfdm 7365 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
36 oef1o.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
3736sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { ( F `  (/) ) }  =  { (/)
} )
3837, 5syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { ( F `  (/) ) }  =  1o )
3938difeq2d 3294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
( F `  (/) ) } )  =  ( _V 
\  1o ) )
4039imaeq2d 5012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' x "
( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  =  ( `' x " ( _V 
\  1o ) ) )
4140eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) )
4241rabbidv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
4335, 42eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( C CNF  D
)  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }
)
44 f1oeq3 5465 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( C CNF  D )  =  { x  e.  ( C  ^m  D
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( F `
 (/) ) } ) )  e.  Fin }  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <-> 
K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K : {
x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <-> 
K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> { x  e.  ( C  ^m  D )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( F `  (/) ) } ) )  e.  Fin } ) )
4633, 45mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
47 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( A  ^m  B )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin }
4847, 22, 18cantnfdm 7365 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( A CNF  B
)  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
49 f1oeq2 5464 . . . . . 6  |-  ( dom  ( A CNF  B )  =  { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
)  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
5048, 49syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D )  <->  K : { x  e.  ( A  ^m  B
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) ) )
5146, 50mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D
) )
52 f1oco 5496 . . . 4  |-  ( ( ( C CNF  D ) : dom  ( C CNF 
D ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  K : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> dom  ( C CNF  D ) )  ->  ( ( C CNF  D )  o.  K
) : dom  ( A CNF  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
534, 51, 52syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
54 eqid 2283 . . . . 5  |-  dom  ( A CNF  B )  =  dom  ( A CNF  B )
5554, 22, 18cantnff1o 7398 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( A  ^o  B
) )
56 f1ocnv 5485 . . . 4  |-  ( ( A CNF  B ) : dom  ( A CNF  B
)
-1-1-onto-> ( A  ^o  B )  ->  `' ( A CNF 
B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
5755, 56syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( A CNF  B
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )
58 f1oco 5496 . . 3  |-  ( ( ( ( C CNF  D
)  o.  K ) : dom  ( A CNF 
B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  /\  `' ( A CNF  B ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> dom  ( A CNF  B ) )  ->  ( (
( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B
) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
5953, 57, 58syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) ) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
) )
60 oef1o.h . . 3  |-  H  =  ( ( ( C CNF 
D )  o.  K
)  o.  `' ( A CNF  B ) )
61 f1oeq1 5463 . . 3  |-  ( H  =  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
)  ->  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) ) )
6260, 61ax-mp 8 . 2  |-  ( H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D
)  <->  ( ( ( C CNF  D )  o.  K )  o.  `' ( A CNF  B )
) : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
6359, 62sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  H : ( A  ^o  B ) -1-1-onto-> ( C  ^o  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    o. ccom 4693   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ^o coe 6478    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CNF ccnf 7362
This theorem is referenced by:  infxpenc  7645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363
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