MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oelimcl Structured version   Unicode version

Theorem oelimcl 6843
Description: The ordinal exponential with a limit ordinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oelimcl  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oelimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3469 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
2 limelon 4644 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
3 oecl 6781 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
5 eloni 4591 . . 3  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
71adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  A  e.  On )
82adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  B  e.  On )
9 dif20el 6749 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
109adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  (/)  e.  A )
11 oen0 6829 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
127, 8, 10, 11syl21anc 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
13 oelim2 6838 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) )
141, 13sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) )
1514eleq2d 2503 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  ( A  ^o  B
)  <->  x  e.  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) ) )
16 eliun 4097 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  <->  E. y  e.  ( B  \  1o ) x  e.  ( A  ^o  y ) )
17 eldifi 3469 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( B  \  1o )  ->  y  e.  B )
187adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  A  e.  On )
198adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  B  e.  On )
20 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  y  e.  B
)
21 onelon 4606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
2219, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  y  e.  On )
23 oecl 6781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
2418, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  On )
25 eloni 4591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  y
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  Ord  ( A  ^o  y ) )
27 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  x  e.  ( A  ^o  y ) )
28 ordsucss 4798 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( A  ^o  y
)  ->  ( x  e.  ( A  ^o  y
)  ->  suc  x  C_  ( A  ^o  y
) ) )
2926, 27, 28sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  C_  ( A  ^o  y ) )
30 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
31 oeordi 6830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  B ) ) )
3219, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
3320, 32mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B ) )
34 onelon 4606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ^o  y
)  e.  On  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  x  e.  On )
3524, 27, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  x  e.  On )
36 suceloni 4793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  e.  On )
384adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
39 ontr2 4628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  x  e.  On  /\  ( A  ^o  B
)  e.  On )  ->  ( ( suc  x  C_  ( A  ^o  y )  /\  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( ( suc  x  C_  ( A  ^o  y )  /\  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4129, 33, 40mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) )
4241expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4317, 42sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  y  e.  ( B  \  1o ) )  ->  (
x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4443rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( E. y  e.  ( B  \  1o ) x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4516, 44syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e. 
U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y
)  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
4615, 45sylbid 207 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  ( A  ^o  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
4746ralrimiv 2788 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  A. x  e.  ( A  ^o  B ) suc  x  e.  ( A  ^o  B ) )
48 dflim4 4828 . 2  |-  ( Lim  ( A  ^o  B
)  <->  ( Ord  ( A  ^o  B )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  B )  /\  A. x  e.  ( A  ^o  B ) suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
496, 12, 47, 48syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U_ciun 4093   Ord word 4580   Oncon0 4581   Lim wlim 4582   suc csuc 4583  (class class class)co 6081   1oc1o 6717   2oc2o 6718    ^o coe 6723
This theorem is referenced by:  oaabs2  6888  omabs  6890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-oexp 6730
  Copyright terms: Public domain W3C validator