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Theorem oelimcl 6598
Description: The ordinal exponential with a limit ordinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oelimcl  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oelimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3298 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
2 limelon 4455 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
3 oecl 6536 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
41, 2, 3syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
5 eloni 4402 . . 3  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  ^o  B ) )
71adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  A  e.  On )
82adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  B  e.  On )
9 dif20el 6504 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  (/)  e.  A )
11 oen0 6584 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
127, 8, 10, 11syl21anc 1181 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
13 oelim2 6593 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) )
141, 13sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) )
1514eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  ( A  ^o  B
)  <->  x  e.  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) ) )
16 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  <->  E. y  e.  ( B  \  1o ) x  e.  ( A  ^o  y ) )
17 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( B  \  1o )  ->  y  e.  B )
187adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  A  e.  On )
198adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  B  e.  On )
20 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  y  e.  B
)
21 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
2219, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  y  e.  On )
23 oecl 6536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
2418, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  On )
25 eloni 4402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  y
) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  Ord  ( A  ^o  y ) )
27 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  x  e.  ( A  ^o  y ) )
28 ordsucss 4609 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( A  ^o  y
)  ->  ( x  e.  ( A  ^o  y
)  ->  suc  x  C_  ( A  ^o  y
) ) )
2926, 27, 28sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  C_  ( A  ^o  y ) )
30 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
31 oeordi 6585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  B ) ) )
3219, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B ) ) )
3320, 32mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B ) )
34 onelon 4417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ^o  y
)  e.  On  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  x  e.  On )
3524, 27, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  x  e.  On )
36 suceloni 4604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  e.  On )
384adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
39 ontr2 4439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  x  e.  On  /\  ( A  ^o  B
)  e.  On )  ->  ( ( suc  x  C_  ( A  ^o  y )  /\  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( ( suc  x  C_  ( A  ^o  y )  /\  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  B
) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4129, 33, 40mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  ( A  ^o  y ) ) )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) )
4241expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4317, 42sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B
) )  /\  y  e.  ( B  \  1o ) )  ->  (
x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4443rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( E. y  e.  ( B  \  1o ) x  e.  ( A  ^o  y )  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B ) ) )
4516, 44syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e. 
U_ y  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y
)  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
4615, 45sylbid 206 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  ( A  ^o  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
4746ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  A. x  e.  ( A  ^o  B ) suc  x  e.  ( A  ^o  B ) )
48 dflim4 4639 . 2  |-  ( Lim  ( A  ^o  B
)  <->  ( Ord  ( A  ^o  B )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  B )  /\  A. x  e.  ( A  ^o  B ) suc  x  e.  ( A  ^o  B
) ) )
496, 12, 47, 48syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ^o coe 6478
This theorem is referenced by:  oaabs2  6643  omabs  6645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485
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