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Theorem oemapvali 7632
Description: If  F  <  G, then there is some  z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression  X that also witnesses  F  <  G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapval.3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapval.4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvali.5  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvali.6  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
Assertion
Ref Expression
oemapvali  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, c, x, y, z, B    A, c, w, x, y, z    T, c    w, F, x, y, z    S, c, x, y, z    G, c, w, x, y, z    ph, x, y, z    w, X, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    X( c)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F T G )
2 cantnfs.1 . . . 4  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
3 cantnfs.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
4 cantnfs.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
5 oemapval.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 oemapval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
7 oemapval.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 7631 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F T G  <->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) ) )
91, 8mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) )
10 oemapvali.6 . . . . . 6  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
11 ssrab2 3420 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B
124adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  e.  On )
13 onss 4763 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  C_  On )
1511, 14syl5ss 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On )
162, 3, 4cantnfs 7613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
177, 16mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1817simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
1918adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
20 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  B )
21 ne0i 3626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  c )  e.  ( G `  c )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
22213ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
23 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G `
 c )  e. 
_V
24 dif1o 6736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  c )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( G `
 c )  e. 
_V  /\  ( G `  c )  =/=  (/) ) )
2523, 24mpbiran 885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  c )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( G `  c )  =/=  (/) )
2622, 25sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( G `  c )  e.  ( _V  \  1o ) )
2717simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
28273ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  G : B
--> A )
29 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B --> A  ->  G  Fn  B )
30 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  B  ->  (
c  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( c  e.  B  /\  ( G `  c
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
3128, 29, 303syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( c  e.  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  <->  ( c  e.  B  /\  ( G `  c )  e.  ( _V  \  1o ) ) ) )
3220, 26, 31mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
3332rabssdv 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )
3433adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )
35 ssfi 7321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  /\ 
{ c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
3619, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
37 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  B )
38 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ( G `
 z ) )
39 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  ( F `  c )  =  ( F `  z ) )
40 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  ( G `  c )  =  ( G `  z ) )
4139, 40eleq12d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  z )  e.  ( G `  z ) ) )
4241elrab 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( z  e.  B  /\  ( F `  z )  e.  ( G `  z
) ) )
4337, 38, 42sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
44 ne0i 3626 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
46 ordunifi 7349 . . . . . . 7  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  Fin  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  =/=  (/) )  ->  U. {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) } )
4715, 36, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
4810, 47syl5eqel 2519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c
) } )
49 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
50 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
5149, 50eleq12d 2503 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  e.  ( G `
 x )  <->  ( F `  X )  e.  ( G `  X ) ) )
52 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  ( F `  c )  =  ( F `  x ) )
53 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  c )  =  ( G `  x ) )
5452, 53eleq12d 2503 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) ) )
5554cbvrabv 2947 . . . . . 6  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) }
5651, 55elrab2 3086 . . . . 5  |-  ( X  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  ( G `  X
) ) )
5748, 56sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) ) )
5857simpld 446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
5957simprd 450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
60 simprrr 742 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) )
613adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A  e.  On )
6227adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  G : B --> A )
6362, 58ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  A )
64 onelon 4598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
6561, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
66 eloni 4583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
67 ordirr 4591 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  -.  ( G `  X )  e.  ( G `  X
) )
6865, 66, 673syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
69 nelneq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )  ->  -.  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
7059, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) )
71 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  X ) )
72 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  ( F `  w )  =  ( F `  X ) )
73 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  ( G `  w )  =  ( G `  X ) )
7472, 73eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  <->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) ) )
7571, 74imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  <-> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) ) )
7675rspccv 3041 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  B  (
z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( z  e.  X  ->  ( F `
 X )  =  ( G `  X
) ) ) )
7760, 58, 76sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) )
7870, 77mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  z  e.  X
)
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( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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( F `  c
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8280, 15, 81sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
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 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  On )
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( F `  z
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( F `  w
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( F `  w
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( F `  z
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( F `  w
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U. { c  e.  B  |  ( F `
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( F `  w
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 w ) ) ) ) )  -> 
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