MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapvali Unicode version

Theorem oemapvali 7402
Description: If  F  <  G, then there is some  z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression  X that also witnesses  F  <  G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.3  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapval.3  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapval.4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvali.5  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvali.6  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
Assertion
Ref Expression
oemapvali  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, c, x, y, z, B    A, c, w, x, y, z    T, c    w, F, x, y, z    S, c, x, y, z    G, c, w, x, y, z    ph, x, y, z    w, X, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    X( c)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F T G )
2 cantnfs.1 . . . 4  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
3 cantnfs.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
4 cantnfs.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
5 oemapval.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 oemapval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
7 oemapval.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 7401 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F T G  <->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) ) )
91, 8mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) )
10 oemapvali.6 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
11 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B
124adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  e.  On )
13 onss 4598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  C_  On )
1511, 14syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On )
162, 3, 4cantnfs 7383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
177, 16mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  ( `' G " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1817simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
1918adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin )
20 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  B )
21 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  c )  e.  ( G `  c )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
22213ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
23 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 c )  e. 
_V
24 dif1o 6515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  c )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( G `
 c )  e. 
_V  /\  ( G `  c )  =/=  (/) ) )
2523, 24mpbiran 884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  c )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( G `  c )  =/=  (/) )
2622, 25sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( G `  c )  e.  ( _V  \  1o ) )
2717simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
28273ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  G : B
--> A )
29 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : B --> A  ->  G  Fn  B )
30 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  B  ->  (
c  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( c  e.  B  /\  ( G `  c
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( c  e.  ( `' G "
( _V  \  1o ) )  <->  ( c  e.  B  /\  ( G `  c )  e.  ( _V  \  1o ) ) ) )
3220, 26, 31mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  ( `' G " ( _V 
\  1o ) ) )
3332rabssdv 3266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )
35 ssfi 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' G "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin  /\ 
{ c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( `' G " ( _V  \  1o ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
3619, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
37 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  B )
38 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ( G `
 z ) )
39 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  z  ->  ( F `  c )  =  ( F `  z ) )
40 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  z  ->  ( G `  c )  =  ( G `  z ) )
4139, 40eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  z  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  z )  e.  ( G `  z ) ) )
4241elrab 2936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( z  e.  B  /\  ( F `  z )  e.  ( G `  z
) ) )
4337, 38, 42sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
44 ne0i 3474 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
46 ordunifi 7123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  Fin  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  =/=  (/) )  ->  U. {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) } )
4715, 36, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
4810, 47syl5eqel 2380 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c
) } )
49 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
50 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
5149, 50eleq12d 2364 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  e.  ( G `
 x )  <->  ( F `  X )  e.  ( G `  X ) ) )
52 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  ( F `  c )  =  ( F `  x ) )
53 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  c )  =  ( G `  x ) )
5452, 53eleq12d 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) ) )
5554cbvrabv 2800 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) }
5651, 55elrab2 2938 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  ( G `  X
) ) )
5748, 56sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) ) )
5857simpld 445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
5957simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
60 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) )
613adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A  e.  On )
6227adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  G : B --> A )
63 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : B --> A  /\  X  e.  B )  ->  ( G `  X
)  e.  A )
6462, 58, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  A )
65 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
6661, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
67 eloni 4418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
68 ordirr 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  -.  ( G `  X )  e.  ( G `  X
) )
6966, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
70 nelneq 2394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )  ->  -.  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
7159, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) )
72 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  X  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  X ) )
73 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  X  ->  ( F `  w )  =  ( F `  X ) )
74 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  X  ->  ( G `  w )  =  ( G `  X ) )
7573, 74eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  X  ->  (
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  <->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) ) )
7672, 75imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  <-> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) ) )
7776rspccv 2894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  B  (
z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( z  e.  X  ->  ( F `
 X )  =  ( G `  X
) ) ) )
7860, 58, 77sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) )
7971, 78mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  z  e.  X
)
80 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  _V )
8111, 12, 80sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  _V )
82 ssonuni 4594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  _V  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  On ) )
8381, 15, 82sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  On )
8410, 83syl5eqel 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  On )
85 onelon 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  On )
8612, 37, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  On )
87 ontri1 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( X  C_  z  <->  -.  z  e.  X ) )
8884, 86, 87syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( X  C_  z  <->  -.  z  e.  X ) )
8979, 88mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  C_  z )
90 elssuni 3871 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  ->  z  C_ 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) } )
9190, 10syl6sseqr 3238 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  ->  z  C_  X )
9243, 91syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  C_  X )
9389, 92eqssd 3209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  =  z )
94 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  z  ->  ( X  e.  w  <->  z  e.  w ) )
9594imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  z  ->  (
( X  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  <-> 
( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
9695ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( X  =  z  ->  ( A. w  e.  B  ( X  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  <->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
9793, 96syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( A. w  e.  B  ( X  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  <->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
9860, 97mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( X  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) )
9958, 59, 983jca 1132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
10099expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  ( G `  X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) ) )
101100rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  B  ( ( F `
 z )  e.  ( G `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `
 w )  =  ( G `  w
) ) )  -> 
( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )
1029, 101mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   {copab 4092   Ord word 4407   Oncon0 4408   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   Fincfn 6879   CNF ccnf 7378
This theorem is referenced by:  cantnflem1a  7403  cantnflem1b  7404  cantnflem1c  7405  cantnflem1d  7406  cantnflem1  7407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
  Copyright terms: Public domain W3C validator