Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapwe Structured version   Unicode version

Theorem oemapwe 7652
 Description: The lexicographic order on a function space of ordinals gives a well-ordering with order type equal to the ordinal exponential. This provides an alternative definition of the ordinal exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
oemapval.t
Assertion
Ref Expression
oemapwe OrdIso
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)

Proof of Theorem oemapwe
StepHypRef Expression
1 cantnfs.2 . . . . 5
2 cantnfs.3 . . . . 5
3 oecl 6783 . . . . 5
41, 2, 3syl2anc 644 . . . 4
5 eloni 4593 . . . 4
6 ordwe 4596 . . . 4
74, 5, 63syl 19 . . 3
8 cantnfs.1 . . . . 5 CNF
9 oemapval.t . . . . 5
108, 1, 2, 9cantnf 7651 . . . 4 CNF
11 isowe 6071 . . . 4 CNF
1210, 11syl 16 . . 3
137, 12mpbird 225 . 2
144, 5syl 16 . . . . 5
15 isocnv 6052 . . . . . 6 CNF CNF
1610, 15syl 16 . . . . 5 CNF
17 ovex 6108 . . . . . . . . 9 CNF
1817dmex 5134 . . . . . . . 8 CNF
198, 18eqeltri 2508 . . . . . . 7
20 exse 4548 . . . . . . 7 Se
2119, 20ax-mp 8 . . . . . 6 Se
22 eqid 2438 . . . . . . 7 OrdIso OrdIso
2322oieu 7510 . . . . . 6 Se CNF OrdIso CNF OrdIso
2413, 21, 23sylancl 645 . . . . 5 CNF OrdIso CNF OrdIso
2514, 16, 24mpbi2and 889 . . . 4 OrdIso CNF OrdIso
2625simpld 447 . . 3 OrdIso
2726eqcomd 2443 . 2 OrdIso
2813, 27jca 520 1 OrdIso
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958  copab 4267   cep 4494   Se wse 4541   wwe 4542   word 4582  con0 4583  ccnv 4879   cdm 4880  cfv 5456   wiso 5457  (class class class)co 6083   coe 6725  OrdIsocoi 7480   CNF ccnf 7618 This theorem is referenced by:  cantnffval2  7653  wemapwe  7656 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-cnf 7619
 Copyright terms: Public domain W3C validator