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Theorem oen0 6831
Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oen0  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oen0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
21eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x
)  <->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
43eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  y ) ) )
5 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
65eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) )
7 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
87eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) ) )
9 0lt1o 6750 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
10 oe0 6768 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
119, 10syl5eleqr 2525 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) )
1211adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  (/) ) )
13 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
14 oecl 6783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
1513, 14jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On ) )
16 omordi 6811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
) ) )
17 om0 6763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( A  ^o  y
)  .o  (/) )  =  (/) )
1817eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
1918ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2016, 19sylibd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2115, 20sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
22 oesuc 6773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
2322eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2423adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2521, 24sylibrd 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  suc  y ) ) )
2625exp31 589 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2726com12 30 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2827com34 80 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2928imp3a 422 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
30 0ellim 4645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
31 eqimss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  (/) )  =  1o  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
3210, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
33 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3433sseq2d 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( 1o  C_  ( A  ^o  y
)  <->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534rspcev 3054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
3630, 32, 35syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
37 ssiun 4135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y
)  ->  1o  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
3938adantrr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
40 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
41 oelim 6780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4240, 41mpanlr1 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4342anasss 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4443an12s 778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4539, 44sseqtr4d 3387 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_  ( A  ^o  x
) )
46 limelon 4646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
4740, 46mpan 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
48 oecl 6783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
4948ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
5047, 49sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
51 eloni 4593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ^o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  x
) )
52 ordgt0ge1 6743 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( A  ^o  x
)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5350, 51, 523syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5453adantrr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5545, 54mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) )
5655ex 425 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) )
5756a1dd 45 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  x  (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) ) )
582, 4, 6, 8, 12, 29, 57tfinds3 4846 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  B ) ) )
5958exp3a 427 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6059com12 30 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6160imp31 423 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U_ciun 4095   Ord word 4582   Oncon0 4583   Lim wlim 4584   suc csuc 4585  (class class class)co 6083   1oc1o 6719    .o comu 6724    ^o coe 6725
This theorem is referenced by:  oeordi  6832  oeordsuc  6839  oeoelem  6843  oelimcl  6845  oeeui  6847  cantnflt  7629  cnfcom  7659  infxpenc  7901  infxpenc2  7905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732
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