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Theorem oeoa 6611
Description: Sum of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8R of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.41 of [TakeutiZaring] p. 69. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
oeoa  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )

Proof of Theorem oeoa
StepHypRef Expression
1 oa00 6573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( B  +o  C )  =  (/)  <->  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
21biimpar 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( B  +o  C )  =  (/) )
32oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( (/) 
^o  ( B  +o  C ) )  =  ( (/)  ^o  (/) ) )
4 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  (/)  ->  ( (/)  ^o  B )  =  (
(/)  ^o  (/) ) )
5 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  (/)  ->  ( (/)  ^o  C )  =  (
(/)  ^o  (/) ) )
6 oe0m0 6535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o
75, 6syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  (/)  ->  ( (/)  ^o  C )  =  1o )
84, 7oveqan12d 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C
) )  =  ( ( (/)  ^o  (/) )  .o  1o ) )
9 0elon 4461 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  On
10 oecl 6552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  (/)  e.  On )  ->  ( (/)  ^o  (/) )  e.  On )
119, 9, 10mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  ^o  (/) )  e.  On
12 om1 6556 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  ^o  (/) )  e.  On  ->  ( ( (/) 
^o  (/) )  .o  1o )  =  ( (/)  ^o  (/) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  ^o  (/) )  .o  1o )  =  (
(/)  ^o  (/) )
148, 13syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C
) )  =  (
(/)  ^o  (/) ) )
1514adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C
) )  =  (
(/)  ^o  (/) ) )
163, 15eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( (/) 
^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) ) )
17 oacl 6550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  +o  C
)  e.  On )
18 on0eln0 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  +o  C )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( B  +o  C )  <->  ( B  +o  C )  =/=  (/) ) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( B  +o  C )  <->  ( B  +o  C )  =/=  (/) ) )
20 oe0m1 6536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  +o  C )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( B  +o  C )  <->  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  (/) ) )
2117, 20syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( B  +o  C )  <->  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  (/) ) )
221necon3abid 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( B  +o  C )  =/=  (/)  <->  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
2319, 21, 223bitr3d 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  (/)  <->  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
2423biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( (/) 
^o  ( B  +o  C ) )  =  (/) )
25 on0eln0 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
2625adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
27 on0eln0 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  ( (/) 
e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
2827adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
2926, 28orbi12d 690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  B  \/  (/)  e.  C )  <-> 
( B  =/=  (/)  \/  C  =/=  (/) ) ) )
30 neorian 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  (/)  \/  C  =/=  (/) )  <->  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )
3129, 30syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  B  \/  (/)  e.  C )  <->  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
32 oe0m1 6536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
3332biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( (/)  ^o  B )  =  (/) )
3433oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  ( (/)  .o  ( (/) 
^o  C ) ) )
35 oecl 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/) 
^o  C )  e.  On )
369, 35mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  On  ->  ( (/) 
^o  C )  e.  On )
37 om0r 6554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
(/)  ^o  C )  e.  On  ->  ( (/)  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  On  ->  ( (/) 
.o  ( (/)  ^o  C
) )  =  (/) )
3934, 38sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  (/)  e.  B )  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  (/) )
4039an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) )
41 oe0m1 6536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  On  ->  ( (/) 
e.  C  <->  ( (/)  ^o  C
)  =  (/) ) )
4241biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  On  /\  (/) 
e.  C )  -> 
( (/)  ^o  C )  =  (/) )
4342oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  On  /\  (/) 
e.  C )  -> 
( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  (/) ) )
44 oecl 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/) 
^o  B )  e.  On )
459, 44mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
^o  B )  e.  On )
46 om0 6532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
(/)  ^o  B )  e.  On  ->  ( ( (/) 
^o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
4843, 47sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( C  e.  On  /\  (/)  e.  C ) )  ->  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) )
4948anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) )
5040, 49jaodan 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  B  \/  (/)  e.  C ) )  ->  ( ( (/) 
^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  (/) )
5150ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  B  \/  (/)  e.  C )  ->  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) )  =  (/) ) )
5231, 51sylbird 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) )  ->  ( (
(/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C ) )  =  (/) ) )
5352imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  (
( (/)  ^o  B )  .o  ( (/)  ^o  C
) )  =  (/) )
5424, 53eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  -.  ( B  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( (/) 
^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) ) )
5516, 54pm2.61dan 766 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) ) )
56 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) ) )
57 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
58 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  C )  =  ( (/)  ^o  C ) )
5957, 58oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B
)  .o  ( (/)  ^o  C ) ) )
6056, 59eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) )  <->  ( (/)  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( (/)  ^o  B )  .o  ( (/) 
^o  C ) ) ) )
6155, 60syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) ) ) )
6261impcom 419 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  A  =  (/) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) )
63 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) ) )
64 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( A  ^o  B )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  B ) )
65 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( A  ^o  C )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  C ) )
6664, 65oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) )
6763, 66eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) )  <-> 
( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) ) )
6867imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( C  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) ) ) )
69 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  ( B  +o  C )  =  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C
) )
7069oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C ) ) )
71 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  B )  =  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o ) ) )
7271oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  (
( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )
)  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) )
7370, 72eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  (
( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) )  <-> 
( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o ) )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) ) )
7473imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  ->  (
( C  e.  On  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  B )  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )
)  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) ) ) )
75 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( A  e.  On  <->  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  e.  On ) )
76 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( (/)  e.  A  <->  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o ) ) )
7775, 76anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  <->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  e.  On  /\  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o ) ) ) )
78 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( 1o  e.  On 
<->  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  e.  On ) )
79 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( (/)  e.  1o  <->  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o ) ) )
8078, 79anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  =  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  ->  ( ( 1o  e.  On  /\  (/)  e.  1o ) 
<->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o )  e.  On  /\  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o ) ) ) )
81 1on 6502 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  On
82 0lt1o 6519 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  1o
8381, 82pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  On  /\  (/)  e.  1o )
8477, 80, 83elimhyp 3626 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  e.  On  /\  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A ) ,  A ,  1o ) )
8584simpli 444 . . . . . . 7  |-  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A ) ,  A ,  1o )  e.  On
8684simpri 448 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )
8781elimel 3630 . . . . . . 7  |-  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  e.  On
8885, 86, 87oeoalem 6610 . . . . . 6  |-  ( C  e.  On  ->  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  ( if ( B  e.  On ,  B ,  1o )  +o  C ) )  =  ( ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  if ( B  e.  On ,  B ,  1o )
)  .o  ( if ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) ,  A ,  1o )  ^o  C ) ) )
8968, 74, 88dedth2h 3620 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  /\  B  e.  On )  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) ) ) )
9089impr 602 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  /\  ( B  e.  On  /\  C  e.  On ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) )
9190an32s 779 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  C  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) )
9262, 91oe0lem 6528 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  C  e.  On ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) )
93923impb 1147 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   ifcif 3578   Oncon0 4408  (class class class)co 5874   1oc1o 6488    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494
This theorem is referenced by:  oeoelem  6612  infxpenc  7661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501
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