MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeoalem Unicode version

Theorem oeoalem 6775
Description: Lemma for oeoa 6776. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oeoalem.1  |-  A  e.  On
oeoalem.2  |-  (/)  e.  A
oeoalem.3  |-  B  e.  On
Assertion
Ref Expression
oeoalem  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )

Proof of Theorem oeoalem
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6028 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
21oveq2d 6036 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  +o  (/) ) ) )
3 oveq2 6028 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
43oveq2d 6036 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  (/) ) ) )
52, 4eqeq12d 2401 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  <->  ( A  ^o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  (/) ) ) ) )
6 oveq2 6028 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 6036 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  +o  y ) ) )
8 oveq2 6028 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
98oveq2d 6036 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )
107, 9eqeq12d 2401 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  <->  ( A  ^o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) ) )
11 oveq2 6028 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1211oveq2d 6036 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y
) ) )
13 oveq2 6028 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
1413oveq2d 6036 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
1512, 14eqeq12d 2401 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) )  <-> 
( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
16 oveq2 6028 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1716oveq2d 6036 . . 3  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  +o  C ) ) )
18 oveq2 6028 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  C
) )
1918oveq2d 6036 . . 3  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C
) ) )
2017, 19eqeq12d 2401 . 2  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  <->  ( A  ^o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  C ) ) ) )
21 oeoalem.1 . . . . 5  |-  A  e.  On
22 oeoalem.3 . . . . 5  |-  B  e.  On
23 oecl 6717 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
2421, 22, 23mp2an 654 . . . 4  |-  ( A  ^o  B )  e.  On
25 om1 6721 . . . 4  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  1o )  =  ( A  ^o  B ) )
2624, 25ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( A  ^o  B )  .o  1o )  =  ( A  ^o  B
)
27 oe0 6702 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
2821, 27ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A  ^o  (/) )  =  1o
2928oveq2i 6031 . . 3  |-  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  (/) ) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  1o )
30 oa0 6696 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
3122, 30ax-mp 8 . . . 4  |-  ( B  +o  (/) )  =  B
3231oveq2i 6031 . . 3  |-  ( A  ^o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  ^o  B )
3326, 29, 323eqtr4ri 2418 . 2  |-  ( A  ^o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  (/) ) )
34 oasuc 6704 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3534oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  ^o  suc  ( B  +o  y ) ) )
36 oacl 6715 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
37 oesuc 6707 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  .o  A ) )
3821, 36, 37sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  .o  A ) )
3935, 38eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  .o  A ) )
4022, 39mpan 652 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  +o  y
) )  .o  A
) )
41 oveq1 6027 . . . . 5  |-  ( ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  ->  (
( A  ^o  ( B  +o  y ) )  .o  A )  =  ( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
) )
4240, 41sylan9eq 2439 . . . 4  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )  -> 
( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) )  .o  A ) )
43 oecl 6717 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
44 omass 6759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
)  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
4524, 21, 44mp3an13 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) )  .o  A )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  (
( A  ^o  y
)  .o  A ) ) )
4643, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
)  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
47 oesuc 6707 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
4847oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
4946, 48eqtr4d 2422 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
)  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
5021, 49mpan 652 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) )  .o  A )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
5150adantr 452 . . . 4  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  .o  A
)  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
5242, 51eqtrd 2419 . . 3  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )  -> 
( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) )
5352ex 424 . 2  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
54 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
55 oalim 6712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
5622, 55mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( B  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( B  +o  y
) )
5754, 56mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
5857oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) ) )
5954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  _V )
60 limord 4581 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
61 ordelon 4546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
6260, 61sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
6322, 62, 36sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
6463ralrimiva 2732 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  A. y  e.  x  ( B  +o  y )  e.  On )
65 0ellim 4584 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
66 ne0i 3577 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  x  =/=  (/) )
68 vex 2902 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
69 oeoalem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  A
70 oelim 6714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
7169, 70mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
7221, 71mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  _V  /\  Lim  w )  ->  ( A  ^o  w )  = 
U_ z  e.  w  ( A  ^o  z
) )
7368, 72mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  w  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
74 oewordi 6770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w ) ) )
7569, 74mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
z  C_  w  ->  ( A  ^o  z ) 
C_  ( A  ^o  w ) ) )
7621, 75mp3an3 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z
)  C_  ( A  ^o  w ) ) )
77763impia 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  z  C_  w )  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w
) )
7873, 77onoviun 6541 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( B  +o  y )  e.  On  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) ) )
7959, 64, 67, 78syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  +o  y
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) ) )
8058, 79eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) ) )
81 iuneq2 4051 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) )  ->  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y
) ) )
8280, 81sylan9eq 2439 . . . 4  |-  ( ( Lim  x  /\  A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) )
83 oelim 6714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
8469, 83mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
8521, 84mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
8654, 85mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
8786oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) ) )
8821, 62, 43sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  ( A  ^o  y )  e.  On )
8988ralrimiva 2732 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  e.  On )
90 omlim 6713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  w )  =  U_ z  e.  w  (
( A  ^o  B
)  .o  z ) )
9124, 90mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  _V  /\  Lim  w )  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  w )  =  U_ z  e.  w  ( ( A  ^o  B )  .o  z ) )
9268, 91mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  w  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  w )  =  U_ z  e.  w  (
( A  ^o  B
)  .o  z ) )
93 omwordi 6750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  ( A  ^o  B )  e.  On )  ->  (
z  C_  w  ->  ( ( A  ^o  B
)  .o  z ) 
C_  ( ( A  ^o  B )  .o  w ) ) )
9424, 93mp3an3 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  C_  w  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  z
)  C_  ( ( A  ^o  B )  .o  w ) ) )
95943impia 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  z  C_  w )  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  z ) 
C_  ( ( A  ^o  B )  .o  w ) )
9692, 95onoviun 6541 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  e.  On  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
( A  ^o  B
)  .o  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) ) )
9759, 89, 67, 96syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  ^o  B )  .o 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) )
9887, 97eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) )
9998adantr 452 . . . 4  |-  ( ( Lim  x  /\  A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  y ) ) )
10082, 99eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( ( Lim  x  /\  A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) ) )
101100ex 424 . 2  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  y ) )  ->  ( A  ^o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  ^o  B
)  .o  ( A  ^o  x ) ) ) )
1025, 10, 15, 20, 33, 53, 101tfinds 4779 1  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  ( A  ^o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   (/)c0 3571   U_ciun 4035   Ord word 4521   Oncon0 4522   Lim wlim 4523   suc csuc 4524  (class class class)co 6020   1oc1o 6653    +o coa 6657    .o comu 6658    ^o coe 6659
This theorem is referenced by:  oeoa  6776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-oexp 6666
  Copyright terms: Public domain W3C validator