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Theorem oeoelem 6612
Description: Lemma for oeoe 6613. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oeoelem.1  |-  A  e.  On
oeoelem.2  |-  (/)  e.  A
Assertion
Ref Expression
oeoelem  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )

Proof of Theorem oeoelem
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  (/) ) )
2 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
32oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x
) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  (/) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  y ) )
6 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
76oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) ) )
9 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y ) )
10 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1110oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <-> 
( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( ( A  ^o  B )  ^o  C ) )
14 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
1514oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) ) )
17 oeoelem.1 . . . . . 6  |-  A  e.  On
18 oecl 6552 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  On )
1917, 18mpan 651 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  B )  e.  On )
20 oe0 6537 . . . . 5  |-  ( ( A  ^o  B )  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  1o )
2119, 20syl 15 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  1o )
22 om0 6532 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
2322oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) )  =  ( A  ^o  (/) ) )
24 oe0 6537 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
2517, 24ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A  ^o  (/) )  =  1o
2623, 25syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) )  =  1o )
2721, 26eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  (/) )  =  ( A  ^o  ( B  .o  (/) ) ) )
28 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B
) ) )
29 oesuc 6542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3019, 29sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  .o  ( A  ^o  B ) ) )
31 omsuc 6541 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
3231oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( A  ^o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) ) )
33 omcl 6551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
34 oeoa 6611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3517, 34mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3633, 35sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3736anabss1 787 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3832, 37eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) )
3930, 38eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  .o  ( A  ^o  B
) )  =  ( ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  .o  ( A  ^o  B ) ) ) )
4028, 39syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
4140expcom 424 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  suc  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) )
42 iuneq2 3937 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
43 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
44 oeoelem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  A
45 oen0 6600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
4644, 45mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  B ) )
47 oelim 6549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ^o  B )  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
4818, 47sylanl1 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  B ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y ) )
4946, 48sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5049anabss1 787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5117, 50mpanl1 661 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )
)
5243, 51mpanr1 664 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y
) )
53 omlim 6548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
5443, 53mpanr1 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( B  .o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( B  .o  y
) )
5554oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) ) )
5643a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  x  e.  _V )
57 limord 4467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
58 ordelon 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
5957, 58sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
6059, 33sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x ) )  -> 
( B  .o  y
)  e.  On )
6160anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  y  e.  x )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
6261ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  A. y  e.  x  ( B  .o  y )  e.  On )
63 0ellim 4470 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
64 ne0i 3474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  x  =/=  (/) )
6665adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  x  =/=  (/) )
67 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
68 oelim 6549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
6944, 68mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( w  e.  _V  /\ 
Lim  w ) )  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
7017, 69mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  _V  /\  Lim  w )  ->  ( A  ^o  w )  = 
U_ z  e.  w  ( A  ^o  z
) )
7167, 70mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  w  ->  ( A  ^o  w )  =  U_ z  e.  w  ( A  ^o  z ) )
72 oewordi 6605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w ) ) )
7344, 72mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
z  C_  w  ->  ( A  ^o  z ) 
C_  ( A  ^o  w ) ) )
7417, 73mp3an3 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  C_  w  ->  ( A  ^o  z
)  C_  ( A  ^o  w ) ) )
75743impia 1148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On  /\  z  C_  w )  ->  ( A  ^o  z )  C_  ( A  ^o  w
) )
7671, 75onoviun 6376 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( B  .o  y )  e.  On  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7756, 62, 66, 76syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7855, 77eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) )
7952, 78eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) )  <->  U_ y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  ( B  .o  y ) ) ) )
8042, 79syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  ^o  B )  ^o  y
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  B )  ^o  x
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  x ) ) ) )
8180expcom 424 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  ^o  B
)  ^o  y )  =  ( A  ^o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  ^o  B
)  ^o  x )  =  ( A  ^o  ( B  .o  x
) ) ) ) )
824, 8, 12, 16, 27, 41, 81tfinds3 4671 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  ^o  B
)  ^o  C )  =  ( A  ^o  ( B  .o  C
) ) ) )
8382impcom 419 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  B )  ^o  C
)  =  ( A  ^o  ( B  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U_ciun 3921   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410  (class class class)co 5874   1oc1o 6488    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494
This theorem is referenced by:  oeoe  6613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501
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