Theorem oesuc 4166

Description: Ordinal exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oesuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Proof of Theorem oesuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . 4 |- (A = (/) -> (A ^o suc B) = ((/) ^o suc B))
2		oe0m1 4160	. . . . . 6 |- (suc B e. On -> ((/) e. suc B <-> ((/) ^o suc B) = (/)))
3	2	biimpa 416	. . . . 5 |- ((suc B e. On /\ (/) e. suc B) -> ((/) ^o suc B) = (/))
4		suceloni 3062	. . . . 5 |- (B e. On -> suc B e. On)
5		eloni 2958	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
6		0elsuc 3092	. . . . . 6 |- (Ord B -> (/) e. suc B)
7	5, 6	syl 10	. . . . 5 |- (B e. On -> (/) e. suc B)
8	3, 4, 7	sylanc 471	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) ^o suc B) = (/))
9	1, 8	sylan9eqr 1529	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = (/))
10		opreq1 3968	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A ^o B) = ((/) ^o B))
11		id 59	. . . . 5 |- (A = (/) -> A = (/))
12	10, 11	opreq12d 3978	. . . 4 |- (A = (/) -> ((A ^o B) .o A) = (((/) ^o B) .o (/)))
13		opreq2 3969	. . . . . . . . 9 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) = ((/) ^o (/)))
14		oe0m0 4159	. . . . . . . . . 10 |- ((/) ^o (/)) = 1o
15		1on 4138	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
16	14, 15	eqeltr 1544	. . . . . . . . 9 |- ((/) ^o (/)) e. On
17	13, 16	syl6eqel 1556	. . . . . . . 8 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) e. On)
18	17	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((B e. On /\ B = (/)) -> ((/) ^o B) e. On)
19		oe0m1 4160	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> ((/) ^o B) = (/)))
20	19	biimpa 416	. . . . . . . . 9 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) = (/))
21		0elon 3022	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
22	20, 21	syl6eqel 1556	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
23	22	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((B e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
24	18, 23	oe0lem 4152	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ B e. On) -> ((/) ^o B) e. On)
25	24	anidms 434	. . . . 5 |- (B e. On -> ((/) ^o B) e. On)
26		om0 4156	. . . . 5 |- (((/) ^o B) e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
27	25, 26	syl 10	. . . 4 |- (B e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
28	12, 27	sylan9eqr 1529	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> ((A ^o B) .o A) = (/))
29	9, 28	eqtr4d 1510	. 2 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
30		rdgsuct 3945	. . . 4 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
31	30	ad2antlr 405	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
32		oevn0 4154	. . . 4 |- (((A e. On /\ suc B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
33	32, 4	sylanl2 461	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
34		oevn0 4154	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
35	34	fveq2d 3728	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
36		oprex 3983	. . . . 5 |- (A ^o B) e. V
37		oprex 3983	. . . . 5 |- ((A ^o B) .o A) e. V
38		opreq1 3968	. . . . 5 |- (x = (A ^o B) -> (x .o A) = ((A ^o B) .o A))
39	36, 37, 38	fvopab 3790	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ((A ^o B) .o A)
40	35, 39	syl5eqr 1521	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ((A ^o B) .o A) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
41	31, 33, 40	3eqtr4d 1517	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
42	29, 41	oe0lem 4152	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2280  {copab 2666  Ord word 2947  Oncon0 2948  suc csuc 2950  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   .o comu 4131   ^o coe 4132

This theorem is referenced by:  oecl 4172  oe1 4178  oe1m 4179  oen0 4213  oeordi 4214  oewordri 4219  oeordsuc 4221  nnecl 4231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-omul 4136  df-oexp 4137

Copyright terms: Public domain