Theorem oevn0 4154

Description: Value of ordinal exponentiation at a nonzero mantissa.

Assertion

Ref	Expression
oevn0	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem oevn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on0eln0 3024	. . . . 5 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
2		df-ne 1587	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
3	1, 2	syl6bb 536	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> -. A = (/)))
4	3	adantr 389	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A <-> -. A = (/)))
5		oev 4153	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o B) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
6		iffalse 2367	. . . . 5 |- (-. A = (/) -> if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
7	5, 6	sylan9eq 1527	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ -. A = (/)) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
8	7	ex 373	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. A = (/) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
9	4, 8	sylbid 203	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
10	9	imp 350	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   \ cdif 2044  (/)c0 2280  ifcif 2361  {copab 2666  Oncon0 2948  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   .o comu 4131   ^o coe 4132

This theorem is referenced by:  oe0 4161  oev2 4162  oesuc 4166  oelim 4169

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-oexp 4137

Copyright terms: Public domain