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Theorem oeworde 6837
Description: Ordinal exponentiation compared to its exponent. Proposition 8.37 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeworde  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oeworde
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
2 oveq2 6090 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3378 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  ( A  ^o  x )  <->  (/)  C_  ( A  ^o  (/) ) ) )
4 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
5 oveq2 6090 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
64, 5sseq12d 3378 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  y  C_  ( A  ^o  y
) ) )
7 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
8 oveq2 6090 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3378 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  ( A  ^o  x )  <->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
10 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
11 oveq2 6090 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
1210, 11sseq12d 3378 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  B  C_  ( A  ^o  B ) ) )
13 0ss 3657 . . . 4  |-  (/)  C_  ( A  ^o  (/) )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  C_  ( A  ^o  (/) ) )
15 eloni 4592 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
1615adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  y )
17 eldifi 3470 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
18 oecl 6782 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
1917, 18sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
20 eloni 4592 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  y
) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  ^o  y ) )
22 ordsucsssuc 4804 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  ( A  ^o  y
) )  ->  (
y  C_  ( A  ^o  y )  <->  suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
) ) )
2316, 21, 22syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( y  C_  ( A  ^o  y )  <->  suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
) ) )
24 suceloni 4794 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
25 oecl 6782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  e.  On )
2617, 24, 25syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  e.  On )
27 eloni 4592 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  suc  y
)  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  suc  y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  ^o  suc  y ) )
29 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
30 vex 2960 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3130sucid 4661 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
suc  y
32 oeordi 6831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  y  e.  On  /\  A  e.  ( On 
\  2o ) )  ->  ( y  e. 
suc  y  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  suc  y ) ) )
3331, 32mpi 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  y  e.  On  /\  A  e.  ( On 
\  2o ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  suc  y
) )
3424, 29, 33syl2anr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  suc  y ) )
35 ordsucss 4799 . . . . . . 7  |-  ( Ord  ( A  ^o  suc  y )  ->  (
( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  suc  y )  ->  suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
3628, 34, 35sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) )
37 sstr2 3356 . . . . . 6  |-  ( suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y )  -> 
( suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
3836, 37syl5com 29 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
)  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
3923, 38sylbid 208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( y  C_  ( A  ^o  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
4039expcom 426 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (
y  C_  ( A  ^o  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
41 dif20el 6750 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
4217, 41jca 520 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )
43 ss2iun 4109 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  U_ y  e.  x  y  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
44 limuni 4642 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U. x )
45 uniiun 4145 . . . . . . . . 9  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
4644, 45syl6eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U_ y  e.  x  y )
4746adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  x  =  U_ y  e.  x  y )
48 vex 2960 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
49 oelim 6779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
5048, 49mpanlr1 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
5150anasss 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
5251an12s 778 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
5347, 52sseq12d 3378 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  U_ y  e.  x  y  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) ) )
5443, 53syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y )  ->  x  C_  ( A  ^o  x
) ) )
5554ex 425 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  x  C_  ( A  ^o  x ) ) ) )
5642, 55syl5 31 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  x  C_  ( A  ^o  x ) ) ) )
573, 6, 9, 12, 14, 40, 56tfinds3 4845 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  B  C_  ( A  ^o  B
) ) )
5857impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    C_ wss 3321   (/)c0 3629   U.cuni 4016   U_ciun 4094   Ord word 4581   Oncon0 4582   Lim wlim 4583   suc csuc 4584  (class class class)co 6082   2oc2o 6719    ^o coe 6724
This theorem is referenced by:  oeeulem  6845  cnfcom3clem  7663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-oexp 6731
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