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Theorem oeworde 6803
Description: Ordinal exponentiation compared to its exponent. Proposition 8.37 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeworde  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oeworde
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
2 oveq2 6056 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3345 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  ( A  ^o  x )  <->  (/)  C_  ( A  ^o  (/) ) ) )
4 id 20 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
5 oveq2 6056 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
64, 5sseq12d 3345 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  y  C_  ( A  ^o  y
) ) )
7 id 20 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
8 oveq2 6056 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3345 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  ( A  ^o  x )  <->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
10 id 20 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
11 oveq2 6056 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
1210, 11sseq12d 3345 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  B  C_  ( A  ^o  B ) ) )
13 0ss 3624 . . . 4  |-  (/)  C_  ( A  ^o  (/) )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  C_  ( A  ^o  (/) ) )
15 eloni 4559 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
1615adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  y )
17 eldifi 3437 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
18 oecl 6748 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
1917, 18sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
20 eloni 4559 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  y
) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  ^o  y ) )
22 ordsucsssuc 4770 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  ( A  ^o  y
) )  ->  (
y  C_  ( A  ^o  y )  <->  suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
) ) )
2316, 21, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( y  C_  ( A  ^o  y )  <->  suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
) ) )
24 suceloni 4760 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
25 oecl 6748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  e.  On )
2617, 24, 25syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  e.  On )
27 eloni 4559 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^o  suc  y
)  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  suc  y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  ^o  suc  y ) )
29 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
30 vex 2927 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3130sucid 4628 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
suc  y
32 oeordi 6797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  y  e.  On  /\  A  e.  ( On 
\  2o ) )  ->  ( y  e. 
suc  y  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  suc  y ) ) )
3331, 32mpi 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  y  e.  On  /\  A  e.  ( On 
\  2o ) )  ->  ( A  ^o  y )  e.  ( A  ^o  suc  y
) )
3424, 29, 33syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  suc  y ) )
35 ordsucss 4765 . . . . . . 7  |-  ( Ord  ( A  ^o  suc  y )  ->  (
( A  ^o  y
)  e.  ( A  ^o  suc  y )  ->  suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
3628, 34, 35sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) )
37 sstr2 3323 . . . . . 6  |-  ( suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y )  -> 
( suc  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
3836, 37syl5com 28 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( suc  y  C_  suc  ( A  ^o  y
)  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
3923, 38sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( y  C_  ( A  ^o  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
4039expcom 425 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (
y  C_  ( A  ^o  y )  ->  suc  y  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
41 dif20el 6716 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
4217, 41jca 519 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )
43 ss2iun 4076 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  U_ y  e.  x  y  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
44 limuni 4609 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U. x )
45 uniiun 4112 . . . . . . . . 9  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
4644, 45syl6eq 2460 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U_ y  e.  x  y )
4746adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  x  =  U_ y  e.  x  y )
48 vex 2927 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
49 oelim 6745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
5048, 49mpanlr1 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
5150anasss 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
5251an12s 777 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
5347, 52sseq12d 3345 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  (
x  C_  ( A  ^o  x )  <->  U_ y  e.  x  y  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) ) )
5443, 53syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y )  ->  x  C_  ( A  ^o  x
) ) )
5554ex 424 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  x  C_  ( A  ^o  x ) ) ) )
5642, 55syl5 30 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( A  ^o  y
)  ->  x  C_  ( A  ^o  x ) ) ) )
573, 6, 9, 12, 14, 40, 56tfinds3 4811 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  B  C_  ( A  ^o  B
) ) )
5857impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   (/)c0 3596   U.cuni 3983   U_ciun 4061   Ord word 4548   Oncon0 4549   Lim wlim 4550   suc csuc 4551  (class class class)co 6048   2oc2o 6685    ^o coe 6690
This theorem is referenced by:  oeeulem  6811  cnfcom3clem  7626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-oexp 6697
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