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Theorem oewordri 6590
Description: Weak ordering property of ordinal exponentiation. Proposition 8.35 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oewordri  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )

Proof of Theorem oewordri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
2 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3207 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  x ) 
C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) ) )
4 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
5 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  y
) )
64, 5sseq12d 3207 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
8 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  ^o  x
)  =  ( B  ^o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3207 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y
) ) )
10 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  C
) )
11 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  C
) )
1210, 11sseq12d 3207 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  C )  C_  ( B  ^o  C ) ) )
13 onelon 4417 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
14 oe0 6521 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
16 oe0 6521 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  ^o  (/) )  =  1o )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( B  ^o  (/) )  =  1o )
1815, 17eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  =  ( B  ^o  (/) ) )
19 eqimss 3230 . . . . 5  |-  ( ( A  ^o  (/) )  =  ( B  ^o  (/) )  -> 
( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) )
21 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  On )
22 onelss 4434 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
2322imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
2413, 21, 23jca31 520 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B ) )
25 oecl 6536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
26253adant2 974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y )  e.  On )
27 oecl 6536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  y
)  e.  On )
28273adant1 973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  y )  e.  On )
29 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
30 omwordri 6570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  y
)  e.  On  /\  ( B  ^o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( ( A  ^o  y )  .o  A
)  C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) ) )
3126, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  (
( A  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) ) )
3231imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  y )  .o  A
)  C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) )
3332adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) )
34 omwordi 6569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( B  ^o  y )  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) ) )
3528, 34syld3an3 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) ) )
3635imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( ( B  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
3736adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( B  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
3833, 37sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
39 oesuc 6526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
40393adant2 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) )
4140adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
42 oesuc 6526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y
)  .o  B ) )
43423adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) )
4443adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y
)  .o  B ) )
4538, 41, 443sstr4d 3221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y ) )
4645exp520 1172 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) ) ) )
4746com3r 73 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) ) ) )
4847imp4c 574 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) )
4924, 48syl5 28 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y
)  ->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y
) ) ) )
5013ancri 535 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) ) )
51 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
52 limelon 4455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5351, 52mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
54 0ellim 4454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
55 oe0m1 6520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
5655biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  (/) 
e.  x )  -> 
( (/)  ^o  x )  =  (/) )
5753, 54, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
58 0ss 3483 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  ( B  ^o  x )
5958a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  (/)  C_  ( B  ^o  x ) )
6057, 59eqsstrd 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) )
61 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( (/)  ^o  x
) )
6261sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  x ) 
C_  ( B  ^o  x )  <->  ( (/)  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6360, 62syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6463adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6564a1dd 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
66 ss2iun 3920 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
67 oelim 6533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
6851, 67mpanlr1 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
6968an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
7069adantllr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
7121anim1i 551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  ( B  e.  On  /\  Lim  x
) )
72 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
73 on0eln0 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
7472, 73syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (/)  e.  B ) )
7574imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  -> 
(/)  e.  B )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  (/)  e.  B )
77 oelim 6533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  B )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
7851, 77mpanlr1 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( B  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
7971, 76, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
8079adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
8180adantlll 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( B  ^o  y
) )
8270, 81sseq12d 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) ) )
8366, 82syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x
) ) )
8483ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8565, 84oe0lem 6512 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8685com12 27 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8750, 86syl5 28 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x
) ) ) )
883, 6, 9, 12, 20, 49, 87tfinds3 4655 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  C )  C_  ( B  ^o  C ) ) )
8988exp3a 425 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) ) )
9089impcom 419 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    .o comu 6477    ^o coe 6478
This theorem is referenced by:  oeordsuc  6592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485
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