Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofco Structured version   Unicode version

Theorem ofco 6316
 Description: The composition of a function operation with another function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ofco.1
ofco.2
ofco.3
ofco.4
ofco.5
ofco.6
ofco.7
Assertion
Ref Expression
ofco

Proof of Theorem ofco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofco.3 . . . 4
21ffvelrnda 5862 . . 3
31feqmptd 5771 . . 3
4 ofco.1 . . . 4
5 ofco.2 . . . 4
6 ofco.4 . . . 4
7 ofco.5 . . . 4
8 ofco.7 . . . 4
9 eqidd 2436 . . . 4
10 eqidd 2436 . . . 4
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10offval 6304 . . 3
12 fveq2 5720 . . . 4
13 fveq2 5720 . . . 4
1412, 13oveq12d 6091 . . 3
152, 3, 11, 14fmptco 5893 . 2
16 inss1 3553 . . . . . 6
178, 16eqsstr3i 3371 . . . . 5
18 fss 5591 . . . . 5
191, 17, 18sylancl 644 . . . 4
20 fnfco 5601 . . . 4
214, 19, 20syl2anc 643 . . 3
22 inss2 3554 . . . . . 6
238, 22eqsstr3i 3371 . . . . 5
24 fss 5591 . . . . 5
251, 23, 24sylancl 644 . . . 4
26 fnfco 5601 . . . 4
275, 25, 26syl2anc 643 . . 3
28 ofco.6 . . 3
29 inidm 3542 . . 3
30 ffn 5583 . . . . 5
311, 30syl 16 . . . 4
32 fvco2 5790 . . . 4
3331, 32sylan 458 . . 3
34 fvco2 5790 . . . 4
3531, 34sylan 458 . . 3
3621, 27, 28, 28, 29, 33, 35offval 6304 . 2
3715, 36eqtr4d 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cin 3311   wss 3312   cmpt 4258   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295 This theorem is referenced by:  gsumzaddlem  15518  coe1add  16649  pf1ind  19967  mendrng  27458 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297
 Copyright terms: Public domain W3C validator