Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofco Unicode version

Theorem ofco 6097
 Description: The composition of a function operation with another function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ofco.1
ofco.2
ofco.3
ofco.4
ofco.5
ofco.6
ofco.7
Assertion
Ref Expression
ofco

Proof of Theorem ofco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofco.3 . . . 4
2 ffvelrn 5663 . . . 4
31, 2sylan 457 . . 3
41feqmptd 5575 . . 3
5 ofco.1 . . . 4
6 ofco.2 . . . 4
7 ofco.4 . . . 4
8 ofco.5 . . . 4
9 ofco.7 . . . 4
10 eqidd 2284 . . . 4
11 eqidd 2284 . . . 4
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11offval 6085 . . 3
13 fveq2 5525 . . . 4
14 fveq2 5525 . . . 4
1513, 14oveq12d 5876 . . 3
163, 4, 12, 15fmptco 5691 . 2
17 inss1 3389 . . . . . 6
189, 17eqsstr3i 3209 . . . . 5
19 fss 5397 . . . . 5
201, 18, 19sylancl 643 . . . 4
21 fnfco 5407 . . . 4
225, 20, 21syl2anc 642 . . 3
23 inss2 3390 . . . . . 6
249, 23eqsstr3i 3209 . . . . 5
25 fss 5397 . . . . 5
261, 24, 25sylancl 643 . . . 4
27 fnfco 5407 . . . 4
286, 26, 27syl2anc 642 . . 3
29 ofco.6 . . 3
30 inidm 3378 . . 3
31 ffn 5389 . . . . 5
321, 31syl 15 . . . 4
33 fvco2 5594 . . . 4
3432, 33sylan 457 . . 3
35 fvco2 5594 . . . 4
3632, 35sylan 457 . . 3
3722, 28, 29, 29, 30, 34, 36offval 6085 . 2
3816, 37eqtr4d 2318 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   cin 3151   wss 3152   cmpt 4077   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076 This theorem is referenced by:  gsumzaddlem  15203  coe1add  16341  pf1ind  19438  mendrng  27500 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078
 Copyright terms: Public domain W3C validator