MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofmresex Unicode version

Theorem ofmresex 6286
Description: Existence of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ofmresex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ofmresex.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
Assertion
Ref Expression
ofmresex  |-  ( ph  ->  (  o F R  |`  ( A  X.  B
) )  e.  _V )

Proof of Theorem ofmresex
StepHypRef Expression
1 ofmresex.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ofmresex.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
3 xpexg 4931 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
41, 2, 3syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
5 ofexg 6250 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  e.  _V  ->  (  o F R  |`  ( A  X.  B ) )  e.  _V )
64, 5syl 16 1  |-  ( ph  ->  (  o F R  |`  ( A  X.  B
) )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    X. cxp 4818    |` cres 4822    o Fcof 6244
This theorem is referenced by:  ldualfvadd  29245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246
  Copyright terms: Public domain W3C validator