MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofmresex Unicode version

Theorem ofmresex 6118
Description: Existence of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ofmresex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ofmresex.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
Assertion
Ref Expression
ofmresex  |-  ( ph  ->  (  o F R  |`  ( A  X.  B
) )  e.  _V )

Proof of Theorem ofmresex
StepHypRef Expression
1 ofmresex.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ofmresex.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
3 xpexg 4800 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
41, 2, 3syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
5 ofexg 6082 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  e.  _V  ->  (  o F R  |`  ( A  X.  B ) )  e.  _V )
64, 5syl 15 1  |-  ( ph  ->  (  o F R  |`  ( A  X.  B
) )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    X. cxp 4687    |` cres 4691    o Fcof 6076
This theorem is referenced by:  ldualfvadd  29318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078
  Copyright terms: Public domain W3C validator