Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofsubid Structured version   Unicode version

Theorem ofsubid 27532
Description: Function analog of subid 9326. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofsubid  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  o F  -  F )  =  ( A  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem ofsubid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  A  e.  V
)
2 ffn 5594 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  F  Fn  A )
32adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  F  Fn  A
)
4 c0ex 9090 . . . 4  |-  0  e.  _V
54fconst 5632 . . 3  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }
6 ffn 5594 . . 3  |-  ( ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }  ->  ( A  X.  { 0 } )  Fn  A
)
75, 6mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  Fn  A )
8 eqidd 2439 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
9 ffvelrn 5871 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
109subidd 9404 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  -  ( F `  x )
)  =  0 )
1110adantll 696 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  -  ( F `  x ) )  =  0 )
124fvconst2 5950 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
1312adantl 454 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
1411, 13eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  -  ( F `  x ) )  =  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) )
151, 3, 3, 7, 8, 8, 14offveq 6328 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> CC )  ->  ( F  o F  -  F )  =  ( A  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3816    X. cxp 4879    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   CCcc 8993   0cc0 8995    - cmin 9296
This theorem is referenced by:  expgrowth  27543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-sub 9298
  Copyright terms: Public domain W3C validator