MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oicl Structured version   Unicode version

Theorem oicl 7498
Description: The order type of the well-order  R on  A is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oicl  |-  Ord  dom  F

Proof of Theorem oicl
Dummy variables  u  t  v  x  h  j  w  z  f 
i  r  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |- recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
41, 2, 3ordtypecbv 7486 . . . 4  |- recs ( ( f  e.  _V  |->  (
iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
5 eqid 2436 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e.  _V  |->  ( iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ s  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }
6 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
7 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R  We  A )
8 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R Se  A )
94, 2, 3, 5, 6, 7, 8ordtypelem5 7491 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( Ord  dom  F  /\  F : dom  F --> A ) )
109simpld 446 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  Ord  dom 
F )
11 ord0 4633 . . 3  |-  Ord  (/)
126oi0 7497 . . . . . 6  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
1312dmeqd 5072 . . . . 5  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  dom  (/) )
14 dm0 5083 . . . . 5  |-  dom  (/)  =  (/)
1513, 14syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  (/) )
16 ordeq 4588 . . . 4  |-  ( dom 
F  =  (/)  ->  ( Ord  dom  F  <->  Ord  (/) ) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( Ord  dom  F  <->  Ord  (/) ) )
1811, 17mpbiri 225 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  Ord  dom  F )
1910, 18pm2.61i 158 1  |-  Ord  dom  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   Se wse 4539    We wwe 4540   Ord word 4580   Oncon0 4581   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881   -->wf 5450   iota_crio 6542  recscrecs 6632  OrdIsocoi 7478
This theorem is referenced by:  oion  7505  oieu  7508  oismo  7509  oiid  7510  wofib  7514  cantnflt  7627  cantnfp1lem3  7636  cantnflem1b  7642  cantnflem1  7645  wemapwe  7654  cnfcomlem  7656  cnfcom  7657  cnfcom2lem  7658  infxpenlem  7895  hsmexlem1  8306  fpwwe2lem8  8512  fpwwe2lem9  8513  fpwwe2lem10  8514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-riota 6549  df-recs 6633  df-oi 7479
  Copyright terms: Public domain W3C validator