MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oien Structured version   Unicode version

Theorem oien 7507
Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oien  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  dom  F  ~~  A
)

Proof of Theorem oien
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oiexg 7504 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  e.  _V )
41oiiso 7506 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
5 isof1o 6045 . . 3  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A
)
7 f1oen3g 7123 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : dom  F -1-1-onto-> A )  ->  dom  F  ~~  A )
83, 6, 7syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  dom  F  ~~  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    _E cep 4492    We wwe 4540   dom cdm 4878   -1-1-onto->wf1o 5453    Isom wiso 5455    ~~ cen 7106  OrdIsocoi 7478
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7511  wofib  7514  cantnfcl  7622  cantnff  7629  cantnf0  7630  cantnfp1lem2  7635  cantnflem1  7645  cantnf  7649  cnfcom2lem  7658  finnisoeu  7994  dfac12lem2  8024  pwfseqlem5  8538  fz1isolem  11710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-en 7110  df-oi 7479
  Copyright terms: Public domain W3C validator