MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oien Unicode version

Theorem oien 7298
Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oien  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  dom  F  ~~  A
)

Proof of Theorem oien
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oiexg 7295 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  e.  _V )
41oiiso 7297 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
5 isof1o 5864 . . 3  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A
)
7 f1oen3g 6920 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : dom  F -1-1-onto-> A )  ->  dom  F  ~~  A )
83, 6, 7syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  dom  F  ~~  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   class class class wbr 4060    _E cep 4340    We wwe 4388   dom cdm 4726   -1-1-onto->wf1o 5291    Isom wiso 5293    ~~ cen 6903  OrdIsocoi 7269
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7302  wofib  7305  cantnfcl  7413  cantnff  7420  cantnf0  7421  cantnfp1lem2  7426  cantnflem1  7436  cantnf  7440  cnfcom2lem  7449  finnisoeu  7785  dfac12lem2  7815  pwfseqlem5  8330  fz1isolem  11446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-riota 6346  df-recs 6430  df-en 6907  df-oi 7270
  Copyright terms: Public domain W3C validator