MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oien Unicode version

Theorem oien 7253
Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oien  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  dom  F  ~~  A
)

Proof of Theorem oien
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oiexg 7250 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  e.  _V )
41oiiso 7252 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
5 isof1o 5822 . . 3  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A
)
7 f1oen3g 6877 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : dom  F -1-1-onto-> A )  ->  dom  F  ~~  A )
83, 6, 7syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  dom  F  ~~  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    _E cep 4303    We wwe 4351   dom cdm 4689   -1-1-onto->wf1o 5254    Isom wiso 5256    ~~ cen 6860  OrdIsocoi 7224
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7257  wofib  7260  cantnfcl  7368  cantnff  7375  cantnf0  7376  cantnfp1lem2  7381  cantnflem1  7391  cantnf  7395  cnfcom2lem  7404  finnisoeu  7740  dfac12lem2  7770  pwfseqlem5  8285  fz1isolem  11399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-en 6864  df-oi 7225
  Copyright terms: Public domain W3C validator