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Theorem oieq1 7272
Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oieq1  |-  ( R  =  S  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( S ,  A
) )

Proof of Theorem oieq1
Dummy variables  h  j  t  u  v  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weeq1 4418 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  ( R  We  A  <->  S  We  A ) )
2 seeq1 4402 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  ( R Se  A  <->  S Se  A )
)
31, 2anbi12d 691 . . 3  |-  ( R  =  S  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  <->  ( S  We  A  /\  S Se  A ) ) )
4 breq 4062 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  S  ->  (
j R w  <->  j S w ) )
54ralbidv 2597 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  S  ->  ( A. j  e.  ran  h  j R w  <->  A. j  e.  ran  h  j S w ) )
65rabbidv 2814 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } )
7 breq 4062 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  S  ->  (
u R v  <->  u S
v ) )
87notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  S  ->  ( -.  u R v  <->  -.  u S v ) )
96, 8raleqbidv 2782 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) )
106, 9riotaeqbidv 6349 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) )
1110mpteq2dv 4144 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  (
h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
12 recseq 6431 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) ) )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( R  =  S  -> recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) ) )
1413imaeq1d 5048 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) )
15 breq 4062 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (
z R t  <->  z S
t ) )
1614, 15raleqbidv 2782 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  ( A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t ) )
1716rexbidv 2598 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t ) )
1817rabbidv 2814 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t } )
1913, 18reseq12d 4993 . . 3  |-  ( R  =  S  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t } ) )
20 eqidd 2317 . . 3  |-  ( R  =  S  ->  (/)  =  (/) )
213, 19, 20ifbieq12d 3621 . 2  |-  ( R  =  S  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( S  We  A  /\  S Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t } ) ,  (/) ) )
22 df-oi 7270 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
23 df-oi 7270 . 2  |- OrdIso ( S ,  A )  =  if ( ( S  We  A  /\  S Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j S w }  -.  u S v ) ) )
" x ) z S t } ) ,  (/) )
2421, 22, 233eqtr4g 2373 1  |-  ( R  =  S  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( S ,  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581   _Vcvv 2822   (/)c0 3489   ifcif 3599   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   Se wse 4387    We wwe 4388   Oncon0 4429   ran crn 4727    |` cres 4728   "cima 4729   iota_crio 6339  recscrecs 6429  OrdIsocoi 7269
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-xp 4732  df-cnv 4734  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fv 5300  df-riota 6346  df-recs 6430  df-oi 7270
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