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Theorem oieq2 7446
Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oieq2  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )

Proof of Theorem oieq2
Dummy variables  h  j  t  u  v  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weeq2 4539 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R  We  A  <->  R  We  B ) )
2 seeq2 4523 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R Se  A  <->  R Se  B )
)
31, 2anbi12d 692 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  <->  ( R  We  B  /\  R Se  B ) ) )
4 rabeq 2918 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } )
54raleqdv 2878 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
64, 5riotaeqbidv 6519 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
76mpteq2dv 4264 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
8 recseq 6601 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  B  -> recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
109imaeq1d 5169 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) )
1110raleqdv 2878 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1211rexeqbi1dv 2881 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1312rabbidv 2916 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )
149, 13reseq12d 5114 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) )
15 eqidd 2413 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (/)  =  (/) )
163, 14, 15ifbieq12d 3729 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) ) )
17 df-oi 7443 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
18 df-oi 7443 . 2  |- OrdIso ( R ,  B )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
1916, 17, 183eqtr4g 2469 1  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678   _Vcvv 2924   (/)c0 3596   ifcif 3707   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   Se wse 4507    We wwe 4508   Oncon0 4549   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848   iota_crio 6509  recscrecs 6599  OrdIsocoi 7442
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7475  cantnfval  7587  cantnf0  7594  cantnfres  7597  cantnf  7613  dfac12lem1  7987  dfac12r  7990  hsmexlem2  8271  hsmexlem4  8273  ltbwe  16496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-xp 4851  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fv 5429  df-riota 6516  df-recs 6600  df-oi 7443
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