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Theorem oieq2 7485
Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oieq2  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )

Proof of Theorem oieq2
Dummy variables  h  j  t  u  v  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weeq2 4574 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R  We  A  <->  R  We  B ) )
2 seeq2 4558 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R Se  A  <->  R Se  B )
)
31, 2anbi12d 693 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  <->  ( R  We  B  /\  R Se  B ) ) )
4 rabeq 2952 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } )
54raleqdv 2912 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
64, 5riotaeqbidv 6555 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
76mpteq2dv 4299 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
8 recseq 6637 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  B  -> recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
109imaeq1d 5205 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) )
1110raleqdv 2912 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1211rexeqbi1dv 2915 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1312rabbidv 2950 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )
149, 13reseq12d 5150 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) )
15 eqidd 2439 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (/)  =  (/) )
163, 14, 15ifbieq12d 3763 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) ) )
17 df-oi 7482 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
18 df-oi 7482 . 2  |- OrdIso ( R ,  B )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
1916, 17, 183eqtr4g 2495 1  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   Se wse 4542    We wwe 4543   Oncon0 4584   ran crn 4882    |` cres 4883   "cima 4884   iota_crio 6545  recscrecs 6635  OrdIsocoi 7481
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7514  cantnfval  7626  cantnf0  7633  cantnfres  7636  cantnf  7652  dfac12lem1  8028  dfac12r  8031  hsmexlem2  8312  hsmexlem4  8314  ltbwe  16538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-xp 4887  df-cnv 4889  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fv 5465  df-riota 6552  df-recs 6636  df-oi 7482
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