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Theorem oieq2 7228
Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oieq2  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )

Proof of Theorem oieq2
Dummy variables  h  j  t  u  v  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weeq2 4382 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R  We  A  <->  R  We  B ) )
2 seeq2 4366 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( R Se  A  <->  R Se  B )
)
31, 2anbi12d 691 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  <->  ( R  We  B  /\  R Se  B ) ) )
4 rabeq 2782 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } )
54raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
64, 5riotaeqbidv 6307 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
76mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
8 recseq 6389 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( A  =  B  -> recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) ) )
109imaeq1d 5011 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) )
1110raleqdv 2742 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1211rexeqbi1dv 2745 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t  <->  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t ) )
1312rabbidv 2780 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )
149, 13reseq12d 4956 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } )  =  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) )
15 eqidd 2284 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (/)  =  (/) )
163, 14, 15ifbieq12d 3587 . 2  |-  ( A  =  B  ->  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) ) )
17 df-oi 7225 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  =  if ( ( R  We  A  /\  R Se  A ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
18 df-oi 7225 . 2  |- OrdIso ( R ,  B )  =  if ( ( R  We  B  /\  R Se  B ) ,  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  |`  { x  e.  On  |  E. t  e.  B  A. z  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  B  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
" x ) z R t } ) ,  (/) )
1916, 17, 183eqtr4g 2340 1  |-  ( A  =  B  -> OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Se wse 4350    We wwe 4351   Oncon0 4392   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   iota_crio 6297  recscrecs 6387  OrdIsocoi 7224
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7257  cantnfval  7369  cantnf0  7376  cantnfres  7379  cantnf  7395  dfac12lem1  7769  dfac12r  7772  hsmexlem2  8053  hsmexlem4  8055  ltbwe  16214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fv 5263  df-riota 6304  df-recs 6388  df-oi 7225
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