MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Structured version   Unicode version

Theorem oiexg 7496
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiexg  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21ordtype 7493 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
3 isof1o 6037 . . . 4  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
4 f1of1 5665 . . . 4  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> A  ->  F : dom  F -1-1-> A
)
52, 3, 43syl 19 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F -1-1-> A )
6 f1dmex 5963 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  F  e. 
_V )
7 f1f 5631 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F -1-1-> A  ->  F : dom  F --> A )
8 fex 5961 . . . . . 6  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
97, 8sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
106, 9syldan 457 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  F  e.  _V )
1110expcom 425 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : dom  F -1-1-> A  ->  F  e.  _V )
)
125, 11syl5 30 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  e.  _V )
)
131oi0 7489 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
14 0ex 4331 . . 3  |-  (/)  e.  _V
1513, 14syl6eqel 2523 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  e.  _V )
1612, 15pm2.61d1 153 1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620    _E cep 4484   Se wse 4531    We wwe 4532   dom cdm 4870   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -1-1-onto->wf1o 5445    Isom wiso 5447  OrdIsocoi 7470
This theorem is referenced by:  oion  7497  oien  7499  cantnfdm  7611  cantnfval  7615  cantnff  7621  wemapwe  7646  finnisoeu  7986  cofsmo  8141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-oi 7471
  Copyright terms: Public domain W3C validator