MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Unicode version

Theorem oiexg 7437
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiexg  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21ordtype 7434 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
3 isof1o 5984 . . . 4  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
4 f1of1 5613 . . . 4  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> A  ->  F : dom  F -1-1-> A
)
52, 3, 43syl 19 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F -1-1-> A )
6 f1dmex 5910 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  F  e. 
_V )
7 f1f 5579 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F -1-1-> A  ->  F : dom  F --> A )
8 fex 5908 . . . . . 6  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
97, 8sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
106, 9syldan 457 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  F  e.  _V )
1110expcom 425 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : dom  F -1-1-> A  ->  F  e.  _V )
)
125, 11syl5 30 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  e.  _V )
)
131oi0 7430 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
14 0ex 4280 . . 3  |-  (/)  e.  _V
1513, 14syl6eqel 2475 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  e.  _V )
1612, 15pm2.61d1 153 1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   (/)c0 3571    _E cep 4433   Se wse 4480    We wwe 4481   dom cdm 4818   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   -1-1-onto->wf1o 5393    Isom wiso 5395  OrdIsocoi 7411
This theorem is referenced by:  oion  7438  oien  7440  cantnfdm  7552  cantnfval  7556  cantnff  7562  wemapwe  7587  finnisoeu  7927  cofsmo  8082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-riota 6485  df-recs 6569  df-oi 7412
  Copyright terms: Public domain W3C validator